Exercício 34:
Mostre que o esquema da compreensão (3.6) não permite mais a dedução do paradóxo de Russell.
Mostre que o esquema da compreensão (3.6) não permite mais a dedução do paradóxo de Russell.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o esquema da compreensão (3.6), também chamado de axioma da separação, impede a construção do conjunto de Russell e, portanto, evita o paradoxo. O conteúdo aqui é teoria dos conjuntos, em particular o esquema de compreensão restrita (separação).
Passo 2
O esquema (3.6) diz que, dado um conjunto A e uma fórmula φ(x), existe um conjunto B cujo elementos são exatamente aqueles x em A que satisfazem φ(x). Formalmente:
Isso significa que só podemos formar subconjuntos de um conjunto já existente A – não há nenhum “conjunto universal” que contenha todos os conjuntos.
Passo 3
Para derivar o paradoxo de Russell na forma usual, a gente define
Mas com (3.6) só podemos definir
para um dado A. Note que:
– R_A é um subconjunto de A, mas nada no esquema garante que R_A\in A.
– Se R_A\notin A, então automaticamente R_A\notin R_A, e não surge contradição.
– Se por acaso R_A\in A, aí teríamos R_A\in R_A\leftrightarrow R_A\notin R_A, mas nada obriga R_A\in A, já que ser subconjunto não implica ser elemento.
– R_A é um subconjunto de A, mas nada no esquema garante que R_A\in A.
– Se R_A\notin A, então automaticamente R_A\notin R_A, e não surge contradição.
– Se por acaso R_A\in A, aí teríamos R_A\in R_A\leftrightarrow R_A\notin R_A, mas nada obriga R_A\in A, já que ser subconjunto não implica ser elemento.
Passo 4
Portanto, em nenhum caso podemos forçar R_A a pertencer ou não pertencer a A de modo a gerar a contradição de Russell. O paradoxo não aparece porque não existe um conjunto “todo-poderoso” A que sirva de domínio universal para a compreensão.
Passo 5
Concluímos que o esquema da compreensão (3.6) impede a formação do conjunto de todos os conjuntos que não se contêm e, assim, bloqueia a dedução do paradoxo de Russell.
Resposta
O paradoxo de Russell não pode ser deduzido porque o esquema (3.6) só forma subconjuntos de um A dado, sem um conjunto universal de todos os conjuntos, impedindo a construção do conjunto de Russell e a consequente contradição.