Exercício 33:
Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única (use o exercício 29).
Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única (use o exercício 29).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a escrita de um número maior que 1 como produto de primos é única, exceto pela ordem dos fatores. O conteúdo é o Teorema Fundamental da Aritmética e vamos usar o lema do exercício 29: se um primo p divide um produto, então p divide um dos fatores.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista um inteiro n>1 com duas decomposições distintas em primos:
onde todos
Como
Basta então permutar os fatores em
para colocar
na posição
, obtendo
.
Passo 3
Dividindo as duas igualdades iniciais por
, temos
Agora aplicamos o mesmo argumento ao número
Repetindo esse processo recursivamente até esgotar todos os fatores, concluímos que
Passo 4
Dessa forma, a fatoração em primos de n é única, salvo pela ordem dos fatores.
Resposta
A fatoração em primos de qualquer inteiro maior que 1 é única, exceto pela ordem dos fatores: se
com todos os
e
primos, então
e, após reordenar,
para todo i.