Exercício 33:
Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única (use o exercício 29).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a escrita de um número maior que 1 como produto de primos é única, exceto pela ordem dos fatores. O conteúdo é o Teorema Fundamental da Aritmética e vamos usar o lema do exercício 29: se um primo p divide um produto, então p divide um dos fatores.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista um inteiro n>1 com duas decomposições distintas em primos:
n = p1 p2 cdots pr = q1 q2 cdots qs,
onde todos pi e qj são primos e, sem perda de generalidade, estão ordenados em ordem não decrescente.
Como p1 divide o produto q1 q2 cdots qs, o exercício 29 garante que p1 divide algum qj. Mas qj é primo, logo
p1 = qj
Basta então permutar os fatores em q1cdots qs para colocar qj na posição q1, obtendo p1 = q1.

Passo 3

Dividindo as duas igualdades iniciais por p1 = q1, temos
np1 = p2 cdots pr = q2 cdots qs
Agora aplicamos o mesmo argumento ao número n/p1, que tem duas decomposições em primos com um fator a menos.
Repetindo esse processo recursivamente até esgotar todos os fatores, concluímos que r = s e, após reordenar, pi = qi para cada i. Isso contradiz a hipótese de decomposições distintas.

Passo 4

Dessa forma, a fatoração em primos de n é única, salvo pela ordem dos fatores.

Resposta

A fatoração em primos de qualquer inteiro maior que 1 é única, exceto pela ordem dos fatores: se n = p1 p2 cdots pr = q1 q2 cdots qs com todos os pi e qj primos, então r = s e, após reordenar, pi = qi para todo i.

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