Encontre o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} F(x, y)=(x+y, x+y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad F(x,y) = (x+y,\;x+y)
e pede o núcleo e a imagem. Vamos usar as definições
\ker F = \{v\in\mathbb{R}^2 \mid F(v)=0\}
\mathrm{Im}\,F = \{F(v)\mid v\in\mathbb{R}^2\}.

Passo 2

Para achar \ker F, resolvemos
F(x,y) = (0,0) \iff (x+y,\;x+y) = (0,0) \iff x+y = 0.
Daí y=-x e todo vetor no núcleo é
(x,y) = (x,\,-x) = x\,(1,-1).
Logo
\ker F = \{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(1,-1)\}.

Passo 3

Para achar \mathrm{Im}\,F, note que todo vetor de saída tem a forma
F(x,y) = (x+y,\;x+y) = (s,s),
onde s = x+y percorre \mathbb{R}. Assim
\mathrm{Im}\,F = \{(s,s)\mid s\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(1,1)\}.

Resposta

\ker F = \{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(1,-1)\}.
\mathrm{Im}\,F = \{(s,s)\mid s\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(1,1)\}.

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