Encontre o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} F(x, y, z)=(x-y-2 z,-\mathrm{x}+2 y+z, mtext{x}-3 z)
Passo 1
O enunciado pede o núcleo e a imagem de
F\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad F(x,y,z) = (\,x - y - 2z,\; -x + 2y + z,\; x - 3z\,).
O que precisamos é: 1) Resolver F(x,y,z)=0 para achar \ker(F). 2) Encontrar o espaço gerado pelas colunas da matriz de F para achar \operatorname{Im}(F).
Passo 2
Para achar \ker(F)\), impomos
\[\begin{cases} x - y - 2z = 0,\\\\ -\,x + 2y + z = 0,\\\ x - 3z = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem
x = 3z.
Substituindo em x - y - 2z = 0\] dá
\[3z - y - 2z = 0 \;\Longrightarrow\; y = z.\]
Em \(-x + 2y + z = 0 fica
-3z + 2y + z = -2z + 2y = 0 \;\Longrightarrow\; y = z,