Encontre o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} F(x, y, z)=(x-y-2 z,-\mathrm{x}+2 y+z, mtext{x}-3 z)

Passo 1

O enunciado pede o núcleo e a imagem de
F\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad F(x,y,z) = (\,x - y - 2z,\; -x + 2y + z,\; x - 3z\,).
O que precisamos é:
1) Resolver F(x,y,z)=0 para achar \ker(F).
2) Encontrar o espaço gerado pelas colunas da matriz de F para achar \operatorname{Im}(F).

Passo 2

Para achar \ker(F)\), impomos \[\begin{cases} x - y - 2z = 0,\\\\ -\,x + 2y + z = 0,\\\ x - 3z = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem
x = 3z.
Substituindo em x - y - 2z = 0\] dá \[3z - y - 2z = 0 \;\Longrightarrow\; y = z.\] Em \(-x + 2y + z = 0 fica
-3z + 2y + z = -2z + 2y = 0 \;\Longrightarrow\; y = z,
confirmando a mesma relação.

Passo 3

Como x=3z e y=z, escrevemos
(x,y,z) = (3z,\;z,\;z) = z\,(3,1,1).
Logo
\ker(F) = \{\,z\,(3,1,1)\mid z\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(3,1,1)\}.

Passo 4

Para a imagem, monte a matriz de F nas bases canônicas:
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\\\ -1 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix},
cuja coluna j é F(e_j). Denote-as
c_1 = (1,-1,1),\quad c_2 = (-1,2,0),\quad c_3 = (-2,1,-3).
Então
\operatorname{Im}(F)=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}.

Passo 5

Verificamos que c_3 é combinação linear de c_1 e c_2. De fato, procurando a,b tais que
a\,c_1 + b\,c_2 = c_3
leva a
a - b = -2,\quad -\,a + 2b = 1,\quad a + 0\cdot b = -3,
cuja solução é a=-3, b=-1. Logo
c_3 = -3\,c_1 \;-\;1\,c_2,
e basta
\operatorname{Im}(F)=\operatorname{span}\{c_1,c_2\} =\operatorname{span}\{(1,-1,1),\,(-1,2,0)\}.

Resposta

\ker(F)=\operatorname{span}\{(3,1,1)\},
\operatorname{Im}(F)=\operatorname{span}\{(1,-1,1),\,(-1,2,0)\} .

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