Encontre o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} F(x, y, z)=(x+y, y+z)

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação linear
F\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\qquad F(x,y,z)=(x+y,\;y+z).
Queremos encontrar o núcleo \ker(F) (o conjunto de vetores que vão em zero) e a imagem \mathrm{Im}(F) (o subespaço de \mathbb{R}^2 gerado pelos valores de F). Para isso usaremos a definição de núcleo como solução de F(x,y,z)=(0,0) e a definição de imagem como o span dos vetores F(e_i).

Passo 2

Para achar \ker(F)\), resolvemos \[F(x,y,z)=(0,0)\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} x+y=0,\\\ y+z=0. \end{cases}
Dessas equações vem x=-y\] e \(z=-y. Logo todo vetor do núcleo tem a forma
(x,y,z)=(-y,\;y,\;-y)=y\,(-1,1,-1),
com y\in\mathbb{R}. Portanto
\ker(F)=\Span\{(-1,1,-1)\}.

Passo 3

Para achar \mathrm{Im}(F), observamos a ação em vetores da base canônica:
F(1,0,0)=(1,0),\quad F(0,1,0)=(1,1),\quad F(0,0,1)=(0,1).
Os vetores (1,0) e (0,1) aparecem na combinação desses valores, portanto geram todo \mathbb{R}^2. Alternativamente, dado (u,v)\in\mathbb{R}^2 basta escolher y=0, x=u, z=v para obter F(x,y,z)=(u,v). Assim
\mathrm{Im}(F)=\mathbb{R}^2.

Resposta

\ker(F)=\Span\{(-1,1,-1)\}
\mathrm{Im}(F)=\mathbb{R}^2

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