Encontre o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} F(x, y, z)=(x+y, y+z)
F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} F(x, y, z)=(x+y, y+z)
Passo 1
O enunciado apresenta a transformação linear
Queremos encontrar o núcleo
(o conjunto de vetores que vão em zero) e a imagem
(o subespaço de
gerado pelos valores de
). Para isso usaremos a definição de núcleo como solução de
e a definição de imagem como o span dos vetores
.
Passo 2
Para achar
Dessas equações vem
. Logo todo vetor do núcleo tem a forma
com
. Portanto
Passo 3
Para achar
, observamos a ação em vetores da base canônica:
Os vetores
e
aparecem na combinação desses valores, portanto geram todo
. Alternativamente, dado
basta escolher
,
,
para obter
. Assim