Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 \times 2 sobre \mathbb{R}
e seja M=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ -2 & 2\end{array}\right]. Seja F: V \rightarrow V a transformação
linear definida por \mathrm{F}(\mathrm{A})=\mathrm{M} . \mathrm{A}. Encontre \mathrm{N}(\mathrm{F}).
Passo 1
O enunciado pede o núcleo da transformação linear \displaystyle F:V\to V,
onde V é o espaço das matrizes 2\times2 reais e
M = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 2\end{pmatrix},
definida por
F(A) = M \cdot A.
Para encontrar \mathrm{N}(F), precisamos achar todas as matrizes A\in V tais que M A = 0.
Passo 2
Representamos uma matriz genérica A\in V por
A = \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix},
com a,b,c,d\in\mathbb{R}.
Passo 3
Calculamos o produto
M A = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot a +(-1)\cdot c & 1\cdot b +(-1)\cdot d\\\\ -2\cdot a + 2\cdot c & -2\cdot b +2\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - c & b - d\\\\ -2a +2c & -2b +2d \end{pmatrix}.
Passo 4
Impondo M A = 0, obtemos o sistema de equações
\begin{cases} a - c = 0,\\\ b - d = 0,\\\\ -2a +2c = 0,\\\\ -2b +2d = 0. \end{cases}
As duas últimas equações são múltiplas das primeiras, restando