1. Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 \times 2 sobre \mathbb{R}
    e seja M=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ -2 & 2\end{array}\right]. Seja F: V \rightarrow V a transformação
    linear definida por \mathrm{F}(\mathrm{A})=\mathrm{M} . \mathrm{A}. Encontre \mathrm{N}(\mathrm{F}).

Passo 1

O enunciado pede o núcleo da transformação linear
\displaystyle F:V\to V,
onde V é o espaço das matrizes 2\times2 reais e
M = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 2\end{pmatrix},
definida por
F(A) = M \cdot A.
Para encontrar \mathrm{N}(F), precisamos achar todas as matrizes A\in V tais que M A = 0.

Passo 2

Representamos uma matriz genérica A\in V por
A = \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix},
com a,b,c,d\in\mathbb{R}.

Passo 3

Calculamos o produto
M A = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot a +(-1)\cdot c & 1\cdot b +(-1)\cdot d\\\\ -2\cdot a + 2\cdot c & -2\cdot b +2\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - c & b - d\\\\ -2a +2c & -2b +2d \end{pmatrix}.

Passo 4

Impondo M A = 0, obtemos o sistema de equações
\begin{cases} a - c = 0,\\\ b - d = 0,\\\\ -2a +2c = 0,\\\\ -2b +2d = 0. \end{cases}
As duas últimas equações são múltiplas das primeiras, restando
c = a, \quad d = b.

Passo 5

Substituindo em A, concluímos que
A = \begin{pmatrix}a & b\a & b\end{pmatrix},
com a,b\in\mathbb{R}. Logo
\mathrm{N}(F) = \Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\a & b\end{pmatrix}\colon a,b\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Passo 6

Uma base de \mathrm{N}(F) é dada pelos vetores (matrizes)
\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \mathrm{N}(F)=\Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\a & b\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\Bigr\}.

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