Verifique se as funções a seguir são ou não transformações lineares. Justifique.
7. T: R^3 R^3, com T(x, y, z)=(z, 2^y, 2^z);

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = l(z,2^y,2^zr)
e pede para verificar se T é uma transformação linear. Vamos usar a definição de linearidade e a propriedade do elemento neutro.

Passo 2

Por definição, T é linear se, para todo u,vinR^3 e todo escalar alpha, valerem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. T(alpha,u)=alpha,T(u).
    Uma consequência imediata dessas duas propriedades é que
T(0,0,0)=(0,0,0)

Passo 3

Vamos calcular T no vetor zero (0,0,0):
T(0,0,0) = l(0,;2^0,;2^0r) = (0,1,1)

Passo 4

Observamos que
T(0,0,0) = (0,1,1)neq(0,0,0),
logo a propriedade T(0)=0 não se verifica. Portanto, T não satisfaz as condições de linearidade.

Resposta

T não é transformação linear.

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