Encontre a nulidade e o posto de T, onde:
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(3-3 y, x-z, z-x).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear TcolonR^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (3x-3y,;x-z,;z-x)
Queremos encontrar a nulidade, que é a dimensão do núcleo ker T, e o posto, que é a dimensão da imagem ImT. Vamos usar a representação matricial de T na base canônica, resolver T(x,y,z)=0 para obter ker T e depois aplicar o teorema do posto e nulidade:
dimker T + dimImT = 3

Passo 2

Escrevemos a matriz de na base canônica. Se , então

Passo 3

Para achar
Isso dá o sistema
Das duas últimas equações segue . Logo
ou seja,

Passo 4

A dimensão do núcleo é
dimker T = 1,
portanto a nulidade de T vale 1.

Passo 5

Pelo teorema do posto e nulidade em R^3,
dimker T + dimImT = 3,
então
dimImT = 3 - 1 = 2
Assim, o posto de T é 2.

Resposta

Nulidade =1, Posto =2.

Exercícios relacionados