Encontre a nulidade e o posto de T, onde:
T: M(2) R^2 dada por T([lla & b c & d])=(a-b, c-d).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Tcolon M2(R)toR^2, Tl(a & b c & dr)=(a-b,;c-d)
O espaço de partida M2(R) tem dimensão 4, pois uma matriz 2times 2 é dada por 4 entradas livres. Vamos encontrar primeiro o núcleo (para a nulidade) e depois a imagem (para o posto).

Passo 2

Para achar o núcleo, impomos
Tl(a & b c & dr)=(0,0)
Isso gera o sistema
a - b = 0, c - d = 0,
isto é, b=a e d=c. Logo
ker T =la & a c & c:a,cinRr

Passo 3

Na parametrização da forma a & a c & c vemos dois parâmetros livres ( a e c). Portanto
dim(ker T)=2,
isto é, a nulidade de T é 2.

Passo 4

Para o posto, basta mostrar que a imagem é todo R^2. Tome as matrizes canônicas
,E11=1&00&0 e
,E21=0&01&0.
Calculamos
T(E11)=(1-0,0-0)=(1,0), T(E21)=(0-0,1-0)=(0,1)
Como (1,0) e (0,1) geram R^2, segue ImT=R^2 e
dim(ImT)=2

Resposta

A nulidade de T é 2 e o posto de T também é 2.

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