Se v é o vetor que satisfaz as condições:
a) v é ortogonal aos vetores (2,1,0) e (-1,1,-1);
b) |v|=raiz14;
c) o ângulo entre v e o vetor (-1,0,2) é menor que 90 ;
Encontre o ponto final do representante v que tem ponto inicial em (2,3,4).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor vec v que satisfaz: (a) vec v é ortogonal a (2,1,0) e a (-1,1,-1); (b) |vec v|=raiz14; (c) o ângulo entre vec v e (-1,0,2) é menor que 90^circ. Depois, dado o ponto inicial (2,3,4), queremos o ponto final do representante de vec v. Vamos usar produtos vetoriais para a ortogonalidade, normalização para o comprimento e produto escalar para verificar o ângulo.

Passo 2

Para achar um vetor ortogonal a (2,1,0) e (-1,1,-1), calculamos o produto vetorial
(2,1,0)times(-1,1,-1) = i&j&k 2&1&0 -1&1&-1 =(-1,2,3)

Passo 3

Qualquer vec v ortogonal é paralelo a (-1,2,3), ou seja vec v=lambda(-1,2,3). Como
|vec v|=|lambda|raiz(-1)^2+2^2+3^2=|lambda|raiz14
e queremos |vec v|=raiz14, segue |lambda|=1. Logo as opções são vec v1=(-1,2,3) ou vec v2=(1,-2,-3).

Passo 4

Para escolher o sinal, exigimos que o ângulo com (-1,0,2) seja agudo, ou seja o produto escalar positivo. Calculamos
vec v1cdot(-1,0,2)=(-1)(-1)+2cdot0+3cdot2=7>0,
vec v2cdot(-1,0,2)=1cdot(-1)+(-2)cdot0+(-3)cdot2=-7<0
vec v1=(-1,2,3) dá ângulo menor que 90^circ.

Passo 5

O ponto final P do representante de vec v=(-1,2,3) com início em A=(2,3,4) é
P = A + vec v = (2,3,4) + (-1,2,3) = (1,5,7)

Resposta

(1,5,7)

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