Para qual(is) valor(es) de m os pontos A=(1, m,-2), B=(1,-2,3), C= ( -1,1,-1 )
D=(5,-1,2) são coplanares?

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que os pontos
A=(1,m,-2), B=(1,-2,3), C=(-1,1,-1), D=(5,-1,2)
sejam coplanares. Isso equivale a exigir que o volume do tetraedro ABCD seja zero, i.e., o produto misto
ABcdotl(ACtimesADr)=0.

Passo 2

Calculemos os vetores AB,AC,AD subtraindo as coordenadas de A:
AB = B - A = (1-1,,-2-m,;3-(-2)) = l(0,,-2-m,;5r),
AC = C - A = (-1-1,;1-m,;-1-(-2)) = l(-2,;1-m,;1r),
AD = D - A = (5-1,;-1-m,;2-(-2)) = l(4,;-1-m,;4r)

Passo 3

Vamos achar ACtimesAD componente a componente:
ACtimesAD =l(a,b,cr),
onde
a=(1-m)cdot4 - 1cdot(-1-m),
b=-l((-2)cdot4 - 1cdot4r),
c=(-2)cdot(-1-m) - (1-m)cdot4
Agora simplificando cada um:
a=4(1-m)+1+m=4-4m+1+m=5-3m,
b=-l(-8-4r)=12,
c=(2+2m)-l(4-4mr)=2+2m-4+4m=6m-2
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ACtimesAD =(5-3m,;12,;6m-2)

Passo 4

O produto misto é
ABcdotl(ACtimesADr) = (0,,-2-m,,5)cdot(5-3m,,12,,6m-2)
Fazendo o produto escalar:
0cdot(5-3m)+(-2-m)cdot12+5cdot(6m-2) = -24-12m+30m-10 =18m-34
A condição de coplanaridade é
18m-34=0 Longrightarrow m=3418=179

Resposta

O valor de m para o qual os quatro pontos são coplanares é
m=179

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