Encontre um número a>0 apropriado, para o qual cada uma das implicações abaixo seja verdadeira.
i) |x-1|<a Rightarrow |4 x-4|<1;
ii) |x+1|<a<1 Rightarrow |x^2-1|<1 / 2;
iii) |x-1|<a Rightarrow |2 x^2-4 x+2|<1 / 10;
iv) |x+2|<a<2 Rightarrow |x^2-4|<b, onde b>00 é arbitrário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um número positivo a que faz com que certas condições sejam verdadeiras. Estamos lidando com desigualdades e manipulação de expressões matemáticas. Para resolver, vamos analisar cada implicação uma por uma, entendendo como escolher a de forma que, se x estiver dentro do intervalo definido por a , as desigualdades dadas sejam satisfeitas.

Passo 2

Parte i)
Queremos achar a > 0 tal que:
|x - 1| < a Rightarrow |4x - 4| < 1
Primeiro, vamos simplificar a expressão do lado direito:
|4x - 4| = 4|x - 1|
Então, a implicação fica:
|x - 1| < a Rightarrow 4|x - 1| < 1
Dividindo ambos os lados da segunda desigualdade por 4:
4|x - 1| < 1 Rightarrow |x - 1| < 14
Para que a implicação seja verdadeira, precisamos que:
|x - 1| < a Rightarrow |x - 1| < 14
Isso significa que a deve ser no máximo 14 .

Passo 3

Parte ii)
Queremos achar a > 0 tal que a < 1 e:
|x + 1| < a Rightarrow |x^2 - 1| < 12
Primeiro, vamos reescrever |x^2 - 1| :
|x^2 - 1| = |(x - 1)(x + 1)|
Sabemos que |x + 1| < a , então:
|x^2 - 1| = |x - 1||x + 1| < |x - 1| a
Precisamos que:
|x - 1| a < 12
Então, isolando |x - 1| :
|x - 1| < 12a
Mas como |x + 1| < a < 1 , temos que x está próximo de -1, então x varia em -1 -a < x < -1 + a. Para manter |x - 1| , sabemos que x está a pelo menos 2 - a unidades de 1. Para simplificar, escolhemos a = 12 , que satisfaz a < 1 e garante que |x^2 - 1| < 12 .

Passo 4

Parte iii)
Queremos achar a > 0 tal que:
|x - 1| < a Rightarrow |2x^2 - 4x + 2| < 110
Vamos fatorar a expressão:
2x^2 - 4x + 2 = 2(x^2 - 2x +1) = 2(x - 1)^2
Então:
|2x^2 - 4x + 2| = 2|x - 1|^2
Queremos que:
2|x - 1|^2 < 110 Rightarrow |x - 1|^2 < 120 Rightarrow |x - 1| < raiz120 = 12raiz5 approx 0,2236
Portanto, escolhemos:
a = 12raiz5

Passo 5

Parte iv)
Queremos achar a > 0 tal que a < 2 e:
|x + 2| < a Rightarrow |x^2 - 4| < b
onde b > 0 é arbitrário.
Primeiro, vamos manipular |x^2 - 4| :
|x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)|
Sabemos que |x + 2| < a , então:
|x^2 - 4| = |x - 2||x + 2| < |x - 2| a
Para controlar |x - 2| , vamos notar que se |x + 2| < a e a < 2 , então x está em -2 -a < x < -2 + a . Como a < 2 , temos:
-4 < x < 0
Então, ( |x - 2| = |x - 2| \leq |x| + 2 < 4 + 2 = 6
]
Portanto:
|x^2 - 4| < 6a
Para garantir que |x^2 - 4| < b , basta escolher:
a < b6
Como b é arbitrário positivo, podemos escolher:
a = min2, b6
)

Resposta

i) a = 14
ii) a = 12
iii) a = 12raiz5
iv) a = min2, b6

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