Encontre um número apropriado, para o qual cada uma das implicações abaixo seja verdadeira.
i) ;
ii) ;
iii) |x-1|<a Rightarrow |2 x^2-4 x+2|<1 / 10;
iv) |x+2|<a<2 Rightarrow |x^2-4|<b, onde b>00 é arbitrário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um número positivo a que faz com que certas condições sejam verdadeiras. Estamos lidando com desigualdades e manipulação de expressões matemáticas. Para resolver, vamos analisar cada implicação uma por uma, entendendo como escolher a de forma que, se x estiver dentro do intervalo definido por a , as desigualdades dadas sejam satisfeitas.
Passo 2
Parte i)
Queremos achar a > 0 tal que:
|x - 1| < a Rightarrow |4x - 4| < 1
Primeiro, vamos simplificar a expressão do lado direito:
|4x - 4| = 4|x - 1|
Então, a implicação fica:
|x - 1| < a Rightarrow 4|x - 1| < 1
Dividindo ambos os lados da segunda desigualdade por 4:
4|x - 1| < 1 Rightarrow |x - 1| < 14
Para que a implicação seja verdadeira, precisamos que:
|x - 1| < a Rightarrow |x - 1| < 14
Isso significa que a deve ser no máximo 14 .
Passo 3
Parte ii)
Queremos achar a > 0 tal que a < 1 e:
|x + 1| < a Rightarrow |x^2 - 1| < 12
Primeiro, vamos reescrever |x^2 - 1| :
|x^2 - 1| = |(x - 1)(x + 1)|
Sabemos que |x + 1| < a , então:
|x^2 - 1| = |x - 1||x + 1| < |x - 1| a
Precisamos que:
|x - 1| a < 12
Então, isolando |x - 1| :
|x - 1| < 12a
Mas como |x + 1| < a < 1 , temos que x está próximo de -1, então x varia em -1 -a < x < -1 + a. Para manter |x - 1| , sabemos que x está a pelo menos 2 - a unidades de 1. Para simplificar, escolhemos a = 12 , que satisfaz a < 1 e garante que |x^2 - 1| < 12 .