Nos exercícios abaixo, são dados os números a, l e varepsilon. Determine o número de<a>0 de modo que se 0<|x-a|<de<a então |f(x)-l|<varepsilon.
i) f(x)=2 x+3 ; a=1 ; l=5 ; varepsilon=0,001;
ii) f(x)=1-2 x ; a=-1 ; l=3 ; varepsilon=0,01.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções f(x) e valores específicos para a , l e varepsilon . Nosso objetivo é encontrar um número de<a > 0 tal que, se 0 < |x - a| < de<a , então |f(x) - l| < varepsilon . Isso está relacionado com o conceito de limite e a definição de varepsilon - de<a para limites de funções.

Passo 2

Vamos resolver a primeira parte:
i) f(x) = 2x + 3 ; a = 1 ; l = 5 ; varepsilon = 0,001
Primeiro, entendemos que queremos que |f(x) - l| < varepsilon :
|2x + 3 - 5| < 0,001
Simplificando:
|2x - 2| < 0,001
Factorando o 2:
2|x - 1| < 0,001
Dividindo ambos os lados por 2:
|x - 1| < 0,0012
|x - 1| < 0,0005
Então, podemos escolher de<a = 0,0005 .

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda parte:
ii) f(x) = 1 - 2x ; a = -1 ; l = 3 ; varepsilon = 0,01
Primeiro, queremos que |f(x) - l| < varepsilon :
|1 - 2x - 3| < 0,01
Simplificando:
|-2x - 2| < 0,01
Factorando o -2:
2|x + 1| < 0,01
Dividindo ambos os lados por 2:
|x + 1| < 0,012
|x + 1| < 0,005
Então, podemos escolher de<a = 0,005 .

Resposta

Para a parte ii), o valor de de<a é 0,005 .

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