Prove que:
i) |a|-|b| <= |a-b|, para todo a, b in R;
ii) ||a|-|b|| <= |a-b|, para todo a, b in R.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar duas desigualdades envolvendo valores absolutos. O conteúdo principal aqui é o conceito de valor absoluto e suas propriedades. Para resolver, vamos usar propriedades básicas dos valores absolutos e entender como elas se aplicam nas desigualdades que precisamos provar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número real a , representado por |a| , é a distância desse número até zero na reta numérica. Ou seja:
|a| = a, & se a >= 0 -a, & se a < 0

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira desigualdade que precisamos provar:
|a| - |b| <= |a - b|
Queremos mostrar que a diferença entre os valores absolutos de a e b é menor ou igual ao valor absoluto da diferença entre a e b .

Passo 4

Para provar essa desigualdade, vamos usar uma propriedade importante dos valores absolutos conhecida como Desigualdade Triangular. Essa propriedade afirma que para quaisquer números reais a e b :
|a + b| <= |a| + |b|
Vamos manipular essa desigualdade para chegar à que precisamos provar.

Passo 5

Vamos considerar a - b como a + (-b) . Aplicando a Desigualdade Triangular:
|a - b| = |a + (-b)| <= |a| + |-b| = |a| + |b|
Então, temos:
|a - b| <= |a| + |b|

Passo 6

Agora, queremos relacionar |a| - |b| com |a - b| . Sabemos que |a| <= |a - b| + |b| (rearranjando a desigualdade anterior). Subtraindo |b| de ambos os lados:
|a| - |b| <= |a - b|
Isso prova a primeira parte da questão.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda desigualdade:
||a| - |b|| <= |a - b|
Aqui, queremos mostrar que o valor absoluto da diferença entre |a| e |b| também é menor ou igual a |a - b| .

Passo 8

Sabemos que tanto |a| - |b| <= |a - b| quanto |b| - |a| <= |a - b| são verdadeiros (basta trocar a por b na primeira desigualdade). Isso significa que:
| |a| - |b| | <= |a - b|
Porque o valor absoluto de |a| - |b| é simplesmente o maior entre |a| - |b| e |b| - |a| , ambos menores ou iguais a |a - b| .

Resposta

Provaram-se as duas desigualdades:
i) |a| - |b| <= |a - b|
ii) ||a| - |b|| <= |a - b|

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