Verifique as implicações seguintes, sendo a>0.
i) |x-3|<a Rightarrow |3 x-9|<3 a;
ii) |x-1|<a<1 Rightarrow |x^2-1|<3 a;
iii) |x+2|<a<2 Rightarrow |x^2-x-6|<7 a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra verificar três implicações envolvendo valores absolutos, e a condição de que a > 0 . Então, a matéria aqui é sobre propriedades de valores absolutos e desigualdades. Pra resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com valores absolutos e aplicar algumas desigualdades básicas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira implicação:
i) |x - 3| < a Rightarrow |3x - 9| < 3a
Primeiro, observamos que |x - 3| < a significa que a distância entre x e 3 é menor que a . Agora, vamos manipular a expressão |3x - 9| :
Note que 3x - 9 = 3(x - 3) . Então,
|3x - 9| = |3(x - 3)| = 3|x - 3|
Como |x - 3| < a , multiplicando ambos os lados por 3 (que é positivo, então a desigualdade não muda):
3|x - 3| < 3a
Portanto,
|3x - 9| < 3a

Passo 3

Agora, vamos para a segunda implicação:
ii) |x - 1| < a < 1 Rightarrow |x^2 - 1| < 3a
Primeiro, observe que |x - 1| < a implica que x está num intervalo (1 - a, 1 + a) . Como a < 1 , x fica entre 0 e 2.
Vamos manipular |x^2 - 1| :
|x^2 - 1| = |(x - 1)(x + 1)|
Pela propriedade dos valores absolutos:
|(x - 1)(x + 1)| = |x - 1| cdot |x + 1|
Sabemos que |x - 1| < a . Além disso, como x está entre 0 e 2, |x + 1| está entre 1 e 3. Ou seja, |x + 1| < 3 .
Multiplicando as desigualdades:
|x - 1| cdot |x + 1| < a cdot 3 = 3a
Portanto,
|x^2 - 1| < 3a

Passo 4

Por último, a terceira implicação:
iii) |x + 2| < a < 2 Rightarrow |x^2 - x - 6| < 7a
Primeiro, |x + 2| < a implica que x está no intervalo (-2 - a, -2 + a) . Como a < 2 , x fica entre -4 e 0 .
Vamos manipular |x^2 - x - 6| :
Podemos fatorar a expressão:
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Então,
|x^2 - x - 6| = |(x - 3)(x + 2)| = |x - 3| cdot |x + 2|
Sabemos que |x + 2| < a .
Agora, precisamos estimar |x - 3| . Sabemos que x está entre -4 e 0 , então |x - 3| varia de:
Se x = -4 : |-4 - 3| = 7
Se x = 0 : |0 - 3| = 3
Portanto, |x - 3| < 7
Multiplicando as desigualdades:
|x - 3| cdot |x + 2| < 7 cdot a = 7a
Assim,
|x^2 - x - 6| < 7a

Resposta

Todas as três implicações são verdadeiras:
i) |x - 3| < a Rightarrow |3x - 9| < 3a ;
ii) |x - 1| < a < 1 Rightarrow |x^2 - 1| < 3a ;
iii) |x + 2| < a < 2 Rightarrow |x^2 - x - 6| < 7a .

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