Nos exercícios abaixo, demonstre que lim x a f(x)=l diretamente, encontrando o número de<a>0 correspondente para cada número varepsilon>0.
i) f(x)=x+3 ; a=2 ; l=5;
ii) f(x)=x+12 ; a=5 ; l=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver os dois limites usando a definição de limite com delta e épsilon. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde a gente mostra que o limite de uma função quando x se aproxima de um valor a é igual a l . Para isso, vamos encontrar um de<a > 0 para cada varepsilon > 0 dado. Vamos lá!

Parte i) f(x) = x + 3 ; a = 2 ; l = 5

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos provar: que quando x se aproxima de 2, f(x) = x + 3 se aproxima de 5. Em termos de definição, queremos mostrar que para todo varepsilon > 0 , existe um de<a > 0 tal que se 0 < |x - 2| < de<a , então |f(x) - 5| < varepsilon .

Passo 3

Vamos começar calculando |f(x) - 5| :
|f(x) - 5| = |(x + 3) - 5| = |x - 2|
Isso significa que queremos que |x - 2| < varepsilon .

Passo 4

Agora, observamos que |x - 2| < de<a deve implicar |x - 2| < varepsilon . Para isso, basta escolher de<a = varepsilon . Assim, sempre que 0 < |x - 2| < de<a , teremos |f(x) - 5| < varepsilon .

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte. Queremos provar que quando x se aproxima de 5, f(x) = x + 12 se aproxima de 3. Usando a definição, para todo varepsilon > 0 , existe um de<a > 0 tal que se 0 < |x - 5| < de<a , então | x + 12 - 3 | < varepsilon .

Passo 6

Vamos simplificar | x + 12 - 3 | :
| x + 12 - 3 | = | x + 1 - 62 | = | x - 52 | = 12 |x - 5|
Queremos que isso seja menor que varepsilon , ou seja:
12 |x - 5| < varepsilon
Multiplicando os dois lados por 2:
|x - 5| < 2varepsilon

Passo 7

Então, para garantir | x + 12 - 3 | < varepsilon , basta escolher de<a = 2varepsilon . Assim, sempre que 0 < |x - 5| < de<a , teremos | x + 12 - 3 | < varepsilon .

Resposta

Portanto, para qualquer varepsilon > 0 , podemos escolher de<a = 2varepsilon para garantir que lim x 5 x + 12 = 3 .

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