Nos exercícios abaixo, demonstre que diretamente, encontrando o número correspondente para cada número .
i) ;
ii) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver os dois limites usando a definição de limite com delta e épsilon. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde a gente mostra que o limite de uma função quando se aproxima de um valor é igual a . Para isso, vamos encontrar um para cada dado. Vamos lá!
Parte i)
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos provar: que quando se aproxima de 2, se aproxima de 5. Em termos de definição, queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então .
Passo 3
Vamos começar calculando :
Isso significa que queremos que .
Passo 4
Agora, observamos que deve implicar . Para isso, basta escolher . Assim, sempre que , teremos .
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte. Queremos provar que quando se aproxima de 5, se aproxima de 3. Usando a definição, para todo , existe um tal que se , então .
Passo 6
Vamos simplificar | x + 12 - 3 | :
| x + 12 - 3 | = | x + 1 - 62 | = | x - 52 | = 12 |x - 5|
Queremos que isso seja menor que varepsilon , ou seja:
12 |x - 5| < varepsilon
Multiplicando os dois lados por 2:
|x - 5| < 2varepsilon
Passo 7
Então, para garantir | x + 12 - 3 | < varepsilon , basta escolher de<a = 2varepsilon . Assim, sempre que 0 < |x - 5| < de<a , teremos | x + 12 - 3 | < varepsilon .
Resposta
Portanto, para qualquer varepsilon > 0 , podemos escolher de<a = 2varepsilon para garantir que lim x 5 x + 12 = 3 .