Encontre o número de inversões em cada uma das seguintes permutações de {1,2,3,4,5} e, em seguida, classifique-as.
(c) (3,2,5,4,1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o número de inversões de uma permutação de \{1,2,3,4,5\} e depois classificá-la como par ou ímpar. O conteúdo aqui é a definição de inversão e a paridade de uma permutação.

Passo 2

Uma inversão é um par de posições (i,j) com i<j tal que o valor na posição i é maior que o valor na posição j. O número total de inversões indica a paridade: se for par, a permutação é par; se for ímpar, é ímpar.

Passo 3

Escrevemos a permutação como
\pi = (3,2,5,4,1),
isto é, \pi_1=3, \pi_2=2, \pi_3=5, \pi_4=4, \pi_5=1. Agora contamos, para cada i, quantos j>i têm \pi_i>\pi_j:
  • Para i=1 \pi_1=3:
    pares (3,2) e (3,1) \Rightarrow 2 inversões.
  • Para i=2 \pi_2=2:
    par (2,1) \Rightarrow 1 inversão.
  • Para i=3 \pi_3=5:
    pares (5,4) e (5,1) \Rightarrow 2 inversões.
  • Para i=4 \pi_4=4:
    par (4,1) \Rightarrow 1 inversão.
  • Para i=5 \pi_5=1:
    não há j>5.

Passo 4

Somando as inversões:
2 + 1 + 2 + 1 = 6.
Como o total de inversões é \,6, que é um número par, concluímos que a permutação é par.

Resposta

O número de inversões é \,6 e, portanto, a permutação é par.

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