Resolva a equação em x :
\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc} x & -1 \\ 3 & 1-x \end{array}\right]=\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3 \\ 2 & x & -6 \\ 1 & 3 & x-5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação em x \det\begin{pmatrix}x & -1 \\\\ 3 & 1-x\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\\\ 2 & x & -6 \\\\ 1 & 3 & x-5 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é cálculo de determinantes ( 2\times 2 e 3\times 3) e depois resolver uma equação algébrica.

Passo 2

Calculemos o determinante de ordem 2 à esquerda. Para
A = \begin{pmatrix}x & -1 \\\\ 3 & 1-x\end{pmatrix},
temos
\det A = x\cdot(1-x) - (-1)\cdot3 = x(1-x) + 3 = -x^2 + x + 3.

Passo 3

Agora o determinante de ordem 3 à direita. Para
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\\\ 2 & x & -6 \\\\ 1 & 3 & x-5 \end{pmatrix},
expandindo pela primeira linha:
\det B = 1\cdot\det\begin{pmatrix}x & -6 \\\\ 3 & x-5\end{pmatrix} +(-3)\cdot C_{13},
onde
\det\begin{pmatrix}x & -6 \\\\ 3 & x-5\end{pmatrix} = x(x-5) - 3(-6) = x^2 -5x +18,
e o cofator
C_{13} = (-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}2 & x \\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}2 & x \\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = 2\cdot3 - 1\cdot x = 6 - x.
Logo,
\det B = (x^2 -5x +18) + (-3)\,(6 - x) = x^2 -5x +18 -18 +3x = x^2 -2x.

Passo 4

Igualando os dois determinantes:
-\,x^2 + x + 3 = x^2 - 2x.
Reorganizando os termos:
-\,x^2 + x + 3 - x^2 + 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2x^2 +3x +3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 3x - 3 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática 2x^2 - 3x - 3 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 +24}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}.

Resposta

As soluções são
x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4} \quad\text{e}\quad x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}.

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