O que se pode dizer sobre o determinante de uma matriz n \times n cujas entradas são todas 1 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante de uma matriz n\times n cujas entradas são todas iguais a 1. O conteúdo envolvido é determinantes e dependência linear de linhas (ou colunas). Vamos usar a propriedade de que, se duas linhas de uma matriz são iguais, seu determinante vale zero.

Passo 2

Denotemos por J_n a matriz cujas entradas são todas 1, isto é,
J_n = [a_{ij}]_{i,j=1}^n \quad\text{com}\quad a_{ij}=1\quad\forall i,j.
Note que cada linha de J_n é o vetor (1,1,\dots,1), portanto todas as linhas são iguais entre si.

Passo 3

Pela propriedade do determinante, se uma matriz tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, então
\det(J_n)=0.
Esse argumento vale sempre que n\ge2. No caso trivial n=1, tem-se J_1=[1] e \det(J_1)=1.

Resposta

Para n\ge2, \det(J_n)=0.
Para n=1, \det(J_1)=1.

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