O que se pode dizer sobre o determinante de uma matriz
cujas entradas são todas 1 ? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede o valor do determinante de uma matriz
cujas entradas são todas iguais a 1. O conteúdo envolvido é determinantes e dependência linear de linhas (ou colunas). Vamos usar a propriedade de que, se duas linhas de uma matriz são iguais, seu determinante vale zero.
Passo 2
Denotemos por
a matriz cujas entradas são todas 1, isto é,
Note que cada linha de
é o vetor
, portanto todas as linhas são iguais entre si.
Passo 3
Pela propriedade do determinante, se uma matriz tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, então
Esse argumento vale sempre que
. No caso trivial
, tem-se
e
.
Resposta
Para
,
.
Para ,
.
Para