Encontre os números críticos da função:
h(t)=t^3 / 4-2 t^1 / 4;

Passo 1

O enunciado pede para achar os números críticos da função h(t)=t^3/4-2t^1/4. Esse problema envolve derivar funções com expoentes fracionários e entender que números críticos são pontos do domínio onde h'(t)=0 ou onde h'(t) não existe.

Passo 2

Identificamos o domínio de h. Como temos potências fracionárias do tipo t^1/4, exigimos t>=0. Logo, o domínio é [0,infty).

Passo 3

Aplicamos a regra da potência em cada termo:
Para t^3/4 a derivada é 34t^-1/4.
Para -2t^1/4 a derivada é -2cdot14t^-3/4=-tfrac12t^-3/4.
Assim,
h'(t)=34t^-1/4-12t^-3/4

Passo 4

Para encontrar onde h'(t)=0, fatoramos t^-3/4:
h'(t)=t^-3/4l(tfrac34t^1/2-tfrac12r)
Igualando o parêntese a zero:
tfrac34t^1/2-tfrac12=0 Longrightarrow t^1/2=tfrac12tfrac34=tfrac23 Longrightarrow t=l(tfrac23r)^2=tfrac49

Passo 5

Verificamos também onde h'(t) não existe. Como há t^-3/4 na expressão, h'(t) é indefinida em t=0. E como 0 está no domínio, ele é um número crítico.

Resposta

Os números críticos de h são
t=0 e t=49

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