(1,5 pontos) O elemento radioativo polônio-210 tem uma meia-vida de 140 dias aproximadamente. Sabendo que uma amostra pesa 20 miligramas inicialmente, então a quantidade deste elemento em t dias é dada pela função
Q(t)=20 e^-0,004951 t
determine a taxa de variação da quantidade Q após 100 dias.

Passo 1

O enunciado fornece a quantidade de polônio-210 numa amostra de massa inicial 20 mg como função do tempo t em dias:
Q(t)=20,e^-0,004951,t
Pede-se a taxa de variação de Q em t=100 dias, ou seja, Q'(100). O conteúdo principal é derivação de exponencial.

Passo 2

Para obter a taxa de variação, calculamos a derivada
Q'(t)=dQdt
Lembrando que, se f(t)=A,e^k,t, então
f'(t)=A,k,e^k,t

Passo 3

No nosso caso A=20 e k=-0,004951. Logo
Q'(t)=20cdot(-0,004951),e^-0,004951,t=-0,09902,e^-0,004951,t

Passo 4

Substituindo t=100:
Q'(100)=-0,09902,e^-0,004951times100=-0,09902,e^-0,4951

Passo 5

Calculando numericamente e^-0,4951approx0,6096, temos
Q'(100)approx -0,09902times0,6096approx -0,0603
O sinal negativo indica que a quantidade está diminuindo à razão de cerca de 0,0603 mg por dia.

Resposta

-0,060 mg/dia

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