Encontre os números críticos da função:
f(x)=x^2 e^-3 x;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números críticos de
f(x)=x^2e^-3x.
Conteúdo: derivada de função obtida por produto e identificação de pontos em que f'(x)=0 ou é indefinida.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto em f(x)=u(x)v(x) com u(x)=x^2 e v(x)=e^-3x.
Calculamos
u'(x)=2x e v'(x)=-3e^-3x,
então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =2x,e^-3x-3x^2,e^-3x

Passo 3

Fatorando em comum ,e^-3x e x, obtemos
f'(x)=(2x-3x^2)e^-3x =x(2-3x),e^-3x

Passo 4

Para achar os números críticos, resolvemos f'(x)=0. Como e^-3xneq0 para todo x, basta
x(2-3x)=0
que dá as soluções x=0 e 2-3x=0implies x=tfrac23.
Além disso, f'(x) existe para todo xinR, logo não há pontos de descontinuidade.

Resposta

Os números críticos de f são
x=0 e x=tfrac23

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