Problema 1 Encontre a antiderivada das funções a seguir.
x^2+sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma antiderivada F(x) de
f(x)=x^2+sen(2x)
Isto é cálculo de antiderivadas (integrais indefinidas). Vamos usar que a antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas, a regra da potência para x^n e uma substituição simples para sen(2x).

Passo 2

Antiderivada de x^2 pela regra da potência ( integral x^ndx = x^n+1/(n+1)):
integral x^2,dx = x^33

Passo 3

Antiderivada de sen(2x) por substituição. Seja u=2x, então du=2,dx ou dx=tfracdu2. Assim,
integral sen(2x),dx = integral sen(u),du2 = 12integral sen(u),du = -12cos(u) = -12cos(2x)

Passo 4

Somando as duas antiderivadas e incluindo a constante C:
F(x)=x^33-12cos(2x)+C

Resposta

F(x)=x^33-12cos(2x)+C

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