Questão: ( 2.5 pontos) Determine o volume do sólido limitado
superiormente pela superfície:
e inferiormente pela superfície
.
superiormente pela superfície:
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente achar o volume do sólido que fica “entre” duas superfícies: por cima a curva
e por baixo a curva
.
Conteúdo: cálculo de integrais duplas para volume e uso de coordenadas polares.
O que vamos precisar:
Conteúdo: cálculo de integrais duplas para volume e uso de coordenadas polares.
O que vamos precisar:
- Entender que volume entre duas superfícies é a integral dupla de (superior – inferior) sobre a projeção no plano
. - Encontrar onde elas se cruzam pra delimitar a região de integração.
- Trocar pra coordenadas polares (por causa do círculo) e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a projeção no plano
, ou seja, a região onde faz sentido o sólido existir.
Elas se cruzam quando
Elas se cruzam quando
Somando
de ambos os lados dá
Isso mostra que a projeção é o disco de raio
centrado na origem.
Passo 3
Agora expressamos o volume como integral dupla da diferença entre as superfícies:
onde
.
Passo 4
Como
é um disco, facilita usar polares:
-
, . - A área elementar
. - Na integranda,
.
Então
Passo 5
Vamos calcular em duas etapas:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
O volume do sólido é
.