3^a Questão: ( 2.5 pontos) Determine o volume do sólido limitado
superiormente pela superfície: z=16-x^2-y^2 e inferiormente pela superfície z=x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar o volume do sólido que fica “entre” duas superfícies: por cima a curva z = 16 - x^2 - y^2 e por baixo a curva z = x^2 + y^2.
Conteúdo: cálculo de integrais duplas para volume e uso de coordenadas polares.
O que vamos precisar:
  • Entender que volume entre duas superfícies é a integral dupla de (superior – inferior) sobre a projeção no plano xy.
  • Encontrar onde elas se cruzam pra delimitar a região de integração.
  • Trocar pra coordenadas polares (por causa do círculo) e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a projeção no plano xy, ou seja, a região onde faz sentido o sólido existir.
Elas se cruzam quando
16 - x^2 - y^2 = x^2 + y^2,
Somando x^2+y^2 de ambos os lados dá
16 = 2,(x^2 + y^2)Longrightarrow x^2 + y^2 = 8,
Isso mostra que a projeção é o disco de raio raiz8 = 2raiz2 centrado na origem.

Passo 3

Agora expressamos o volume como integral dupla da diferença entre as superfícies:
V ;=;integral duplaRl(zsup - zinfr),dA ;=;integral duplaRl[l(16 - x^2 - y^2r)-l(x^2 + y^2r)r],dA ;=;integral duplaRl(16 - 2(x^2 + y^2)r),dA,,
onde R=(x,y)mid x^2+y^2<=8.

Passo 4

Como R é um disco, facilita usar polares:
  • x = rcostheta, y = rsintheta.
  • A área elementar dA = r,dr,dtheta.
  • Na integranda, x^2+y^2 = r^2.
    Então
V = integraltheta=0^2pi!integralr=0^2raiz2l[16 - 2r^2r];r,dr,dtheta ;=;integral0^2pi!integral0^2raiz2l(16r - 2r^3r),dr,dtheta,

Passo 5

Vamos calcular em duas etapas:
  1. Integral em r:
integral0^2raiz2(16r - 2r^3),dr = l[8r^2 - tfrac12r^4r]0^2raiz2 = 8,(2raiz2)^2 ;-;tfrac12,(2raiz2)^4 = 8cdot8 ;-;tfrac12cdot 64 = 64 - 32 = 32
  1. Integral em theta:
integral0^2pi32,dtheta = 32,(2pi) = 64pi

Resposta

O volume do sólido é , 64pi,.

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