Encontre os números críticos da função.
f(t)=t^{3}+6 t^{2}+3 t-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números críticos de f(t)=t^{3}+6t^{2}+3t-1. Em cálculo, números críticos são os valores de t em que a derivada f'(t) é zero ou não existe. Como f é polinomial, f' existe para todo t, então basta achar f'(t) e resolver f'(t)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de f termo a termo:
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(6t^{2}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(3t\bigr)-\frac{d}{dt}(1) =3t^{2}+12t+3.

Passo 3

Para encontrar os críticos, igualamos a derivada a zero:
3t^{2}+12t+3=0.
Podemos dividir toda a equação por 3, obtendo
t^{2}+4t+1=0.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática t^{2}+4t+1=0 usando a fórmula de Bhaskara:
t=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1} =\frac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2} =\frac{-4\pm2\sqrt{3}}{2} =-2\pm\sqrt{3}.

Resposta

Os números críticos de f são
\,t=-2-\sqrt{3} e \,t=-2+\sqrt{3}.

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