Encontre os números críticos da função.
h(x)=x^{-1 / 3}(x-2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números críticos da função
h(x)=x^{-1/3}(x-2).
Aqui vamos usar a definição de número crítico: são os valores de x no domínio de h para os quais h'(x)=0 ou h'(x) não existe. Para isso precisamos (1) determinar o domínio de h, (2) calcular h'(x) usando regra do produto e (3) achar onde h'(x)=0 ou fica indefinida.

Passo 2

Determinar o domínio de h. Como h(x)=\frac{x-2}{\sqrt[\,3]{x}}, o denominador \sqrt[\,3]{x} só é zero em x=0. Logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.

Passo 3

Calcular a derivada h'(x) por regra do produto. Tome
u(x)=x^{-1/3}, \qquad v(x)=x-2.
Então
u'(x)=-\tfrac13\,x^{-4/3}, \qquad v'(x)=1,
e pela regra do produto
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =-\tfrac13\,x^{-4/3}(x-2)+x^{-1/3}\cdot1.

Passo 4

Simplificar h'(x). Fatorando x^{-4/3} em ambos os termos:
h'(x) =x^{-4/3}\Bigl(-\tfrac13(x-2)+x\Bigr) =x^{-4/3}\Bigl(-\tfrac13x+\tfrac23 +x\Bigr) =x^{-4/3}\,\tfrac23(x+1).
Portanto
h'(x)=\frac{2(x+1)}{3\,x^{4/3}}.

Passo 5

Encontrar onde h'(x)=0. A fração é zero exatamente quando o numerador é zero, ou seja
x+1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Verificamos que -1 está no domínio, logo é um número crítico do tipo “derivada zero”.

Passo 6

Verificar onde h'(x) não existe. O denominador x^{4/3} anula em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio de h, então não conta como número crítico (pois é ponto de descontinuidade da função).

Resposta

O único número crítico de h é
x=-1.

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