Encontre a série de Taylor gerada por f em x=a
(a) f(x)=x^{4}+x^{2}+1, a=-1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de uma função polinomial
f(x)=x^{4}+x^{2}+1
em torno de a=-1. Como f é um polinômio de grau 4, sua série de Taylor é finita até a ordem 4. Vamos usar a mudança de variável
h = x - a = x - (-1) = x + 1
e expandir f em potências de h.

Passo 2

Fazendo x = h - 1, substituímos em f(x):
f(x) = (h - 1)^{4} \;+\;(h - 1)^{2}\;+\;1.

Passo 3

Expandimos cada termo usando o binômio de Newton:
(h - 1)^{4} = h^{4} - 4h^{3} + 6h^{2} - 4h + 1,
(h - 1)^{2} = h^{2} - 2h + 1.

Passo 4

Somando tudo e coletando termos em h^{k}:
(h - 1)^{4} + (h - 1)^{2} + 1 = \bigl(h^{4} - 4h^{3} + 6h^{2} - 4h +1\bigr) + \bigl(h^{2} -2h +1\bigr) + 1
\quad= h^{4} - 4h^{3} + (6+1)\,h^{2} +(-4-2)\,h + (1+1+1)
\quad= h^{4} - 4h^{3} +7h^{2} -6h +3.

Passo 5

Voltando à variável original x, lembrando que h = x + 1, obtemos a série de Taylor em torno de a=-1:
f(x) = 3 \;-\;6\,(x+1)\;+\;7\,(x+1)^{2}\;-\;4\,(x+1)^{3}\;+\;(x+1)^{4}.

Resposta

f(x)=3 \;-\;6\,(x+1)\;+\;7\,(x+1)^{2}\;-\;4\,(x+1)^{3}\;+\;(x+1)^{4}.

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