Encontre os números críticos da função.
p(x)=\frac{x^{2}+2}{2 x-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
p(x)=\frac{x^{2}+2}{2x-1}
e pede os números críticos, ou seja, os valores de x no domínio de p em que p'(x)=0 ou p'(x) é indefinida. Vamos usar a regra do quociente para derivar e depois identificar esses pontos.

Passo 2

Determinar o domínio de p. Como o denominador não pode ser zero,
2x-1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\tfrac12.
Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\tfrac12\}.

Passo 3

Calcular a derivada p'(x) pela regra do quociente: se u(x)=x^2+2 e v(x)=2x-1,
p'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{(2x)(2x-1)-(x^2+2)\cdot2}{(2x-1)^2}.

Passo 4

Simplificar o numerador de p'(x):
(2x)(2x-1)-(x^2+2)\cdot2 =4x^2-2x-2x^2-4 =2x^2-2x-4.

Passo 5

Encontrar onde p'(x)=0, ou seja, onde o numerador zera:
2x^2-2x-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2-x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)(x+1)=0
Logo x=2 ou x=-1.

Passo 6

Verificar onde p'(x) é indefinida: ocorre se 2x-1=0, ou seja, x=\tfrac12, mas esse ponto não pertence ao domínio de p. Portanto não entra na lista de números críticos.

Resposta

Os números críticos são -1 e 2.

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