Encontre a série de Taylor gerada por f em x=a
(a) f(x)=x^{4}+x^{2}+1, a=-1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=x^{4}+x^{2}+1 em torno de a=-1. Precisamos escrever
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(-1)}{n!}(x+1)^{n},
mas como f é um polinômio de grau 4, a série truncará em n=4.

Passo 2

Para facilitar, definimos
h = x+1,
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x = h - 1,
e nosso objetivo é reescrever f(x) em potências de h.

Passo 3

Calculamos primeiro
x^{2} = (h-1)^{2} = h^{2} - 2h + 1,
e depois
x^{4} = (h-1)^{4} = h^{4} - 4h^{3} + 6h^{2} - 4h + 1.

Passo 4

Substituindo essas expressões em
f(x)=x^{4}+x^{2}+1
obtemos
f(x) = \bigl(h^{4} - 4h^{3} + 6h^{2} - 4h + 1\bigr) + \bigl(h^{2} - 2h + 1\bigr) + 1 = h^{4} - 4h^{3} + 7h^{2} - 6h + 3.

Passo 5

Voltando a h=x+1, a série de Taylor centrada em -1 é exatamente o polinômio em potências de (x+1):
f(x)=3 \;-\;6(x+1)\;+\;7(x+1)^{2}\;-\;4(x+1)^{3}\;+\;(x+1)^{4}.

Resposta

f(x)=3 - 6(x+1) + 7(x+1)^{2} - 4(x+1)^{3} + (x+1)^{4}.

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