Mostre que: \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} e^{x} \operatorname{sen}(x) d x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(\sqrt{3}-1) e^{\frac{\pi}{3}} Passo 1O enunciado pede para calcular a integral definida \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx usando técnicas de integração por partes. Vamos primeiro encontrar a primitiva geral de \displaystyle I(x)=\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx. Passo 2Defina I(x)=\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx. Aplique integração por partes escolhendo \displaystyle u=e^{x}, \,dv=\operatorname{sen}(x)\,dx. Então \,du=e^{x}\,dx e \,v=-\cos(x), logo I(x) =\;u\,v-\int v\,du =-e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\cos(x)\,dx. Chame \displaystyle J(x)=\int e^{x}\cos(x)\,dx e aplique partes em J(x) com \displaystyle u=e^{x}, \,dv=\cos(x)\,dx. Assim \,du=e^{x}\,dx, \,v=\operatorname{sen}(x) e J(x) =e^{x}\operatorname{sen}(x)-\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx =e^{x}\operatorname{sen}(x)-I(x). Substituindo J(x) em I(x) obtém-se I(x)=-e^{x}\cos(x)+J(x) =-e^{x}\cos(x)+e^{x}\operatorname{sen}(x)-I(x), ou seja 2\,I(x)=e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(x)-\cos(x)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I(x)=\frac{e^{x}}{2}\bigl(\operatorname{sen}(x)-\cos(x)\bigr). Passo 3Agora avalie a primitiva nos limites de 0 a \pi/3: \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx =\left.\frac{e^{x}}{2}\bigl(\operatorname{sen}(x)-\cos(x)\bigr)\right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}. Para x=\tfrac{\pi}{3}: \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2}, então \frac{e^{\frac{\pi}{3}}}{2}\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}\Bigr) =\frac{e^{\frac{\pi}{3}}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{2} =\frac{\sqrt{3}-1}{4}\,e^{\frac{\pi}{3}}. Para x=0: \operatorname{sen}(0)=0, \cos(0)=1, então \frac{e^{0}}{2}\bigl(0-1\bigr) =-\frac{1}{2}. Subtraindo, vem \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx =\frac{\sqrt{3}-1}{4}\,e^{\frac{\pi}{3}} \;-\;\bigl(-\tfrac12\bigr) =\frac12+\frac{\sqrt{3}-1}{4}\,e^{\frac{\pi}{3}}. Resposta \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx =\frac12+\frac{1}{4}\bigl(\sqrt{3}-1\bigr)e^{\frac{\pi}{3}}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre os números críticos da função. f(x)=3 x^{2}+x-2 Encontre os números críticos da função. p(x)=\frac{x^{2}+2}{2 x-1} Esboce e calcule a área delimitada pelas seguintes curvas: y=3 x-1 e y=3-x^{2} Encontre os números críticos da função. f(x)=2 x^{3}+x^{2}+8 x