Exercício 2. (2,0 Pontos) Uma lata cilíndrica é feita para receber 900 \mathrm{~cm}^{3} de óleo. Encontre as dimensões que minimizarāo o custo do metal para produzir a lata.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões (raio r e altura h) de uma lata cilíndrica que comporta 900,cm ^3 de óleo e que tenha custo mínimo de metal. Aqui o custo de metal é proporcional à área de superfície da lata, de modo que vamos usar cálculo de otimização: montar a função área sob a restrição de volume e encontrar seu mínimo com derivadas.

Passo 2

A restrição de volume é
V = \pi r^2 h = 900.
Dessa relação isolamos a altura:
h = \frac{900}{\pi r^2}.

Passo 3

A área total da lata (sem considerar espessura) é
S = 2\pi r^2 + 2\pi r h.
Substituindo h da restrição de volume:
S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \,\frac{900}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1800}{r}.

Passo 4

Para achar o mínimo de S(r), calculamos a derivada e igualamos a zero:
\frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{1800}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad 4\pi r - \frac{1800}{r^2} = 0.
Multiplicando por r^2:
4\pi r^3 = 1800 \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{1800}{4\pi} = \frac{450}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad r = \Bigl(\tfrac{450}{\pi}\Bigr)^{1/3}.

Passo 5

Com esse r, voltamos à expressão de h:
h = \frac{900}{\pi r^2} = \frac{900}{\pi\bigl((450/\pi)^{1/3}\bigr)^{2}} = 2\,(450/\pi)^{1/3} = 2r.
Assim, a lata de custo mínimo satisfaz h=2r.

Resposta

O raio que minimiza o custo é
r = \bigl(450/\pi\bigr)^{1/3}\text{ cm}
e a altura correspondente é
h = 2\,\bigl(450/\pi\bigr)^{1/3}\text{ cm}.

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