Exercício 2. (2,0 Pontos) Uma lata cilíndrica é feita para receber
de óleo. Encontre as dimensões que minimizarāo o custo do metal para produzir a lata.
Passo 1
O enunciado pede as dimensões (raio
e altura
) de uma lata cilíndrica que comporta
,cm
de óleo e que tenha custo mínimo de metal. Aqui o custo de metal é proporcional à área de superfície da lata, de modo que vamos usar cálculo de otimização: montar a função área sob a restrição de volume e encontrar seu mínimo com derivadas.
Passo 2
A restrição de volume é
Dessa relação isolamos a altura:
Passo 3
A área total da lata (sem considerar espessura) é
Substituindo
da restrição de volume:
Passo 4
Para achar o mínimo de
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Multiplicando por
:
Passo 5
Com esse
, voltamos à expressão de
:
Assim, a lata de custo mínimo satisfaz
.
Resposta
O raio que minimiza o custo é
e a altura correspondente é