Encontre os números críticos de f.
Use o método do intervalo fechado para encontrar os máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado.
(c) f(x)=x e^{x},[0,1]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x e^{x}
e pede dois objetivos:
– encontrar os números críticos de f;
– usar o método do intervalo fechado para identificar máximos e mínimos absolutos de f em [0,1].

Passo 2

Para achar os números críticos, primeiro calculamos a derivada usando a regra do produto e a derivada de e^{x}:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\,e^{x}+x\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr) =e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
Um ponto crítico ocorre quando f'(x)=0. Como e^{x}>0 para todo x, temos
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad 1+x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Esse é o único número crítico de f em \mathbb{R}, mas note que x=-1 não pertence ao intervalo [0,1].

Passo 3

No método do intervalo fechado, os candidatos a extremos absolutos em [0,1] são:
  1. pontos críticos em (0,1), e
  2. os pontos finais x=0 e x=1.
    Como não há número crítico em (0,1), restam apenas os extremos do intervalo. Avaliamos:
f(0)=0\cdot e^{0}=0, \qquad f(1)=1\cdot e^{1}=e.

Passo 4

Comparando os valores obtidos:
– o menor valor é f(0)=0,
– o maior valor é f(1)=e.

Resposta

O único número crítico de f é x=-1. Em [0,1], o mínimo absoluto ocorre em x=0 com f(0)=0 e o máximo absoluto ocorre em x=1 com f(1)=e.

Exercícios relacionados