Esboce o gráfico de uma função em que você identifica a diferença entre máximos globais e máximos locais. Repita o processo para mínimos.

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de uma função que apresente máximos locais e globais, e mínimos locais e globais. Vamos usar a ideia de identificar intervalos onde a função cresce ou decresce e comparar valores num domínio fechado.

Passo 2

Para ficar bem simples de desenhar, definimos a função
f:[0,4]\to\mathbb{R},\quad f(x)= \begin{cases} \text{reta ligando }(0,1)\text{ a }(1,3),\\\ \text{reta ligando }(1,3)\text{ a }(2,2),\\\ \text{reta ligando }(2,2)\text{ a }(3,5),\\\ \text{reta ligando }(3,5)\text{ a }(4,0). \end{cases}
Ou seja, o gráfico é uma poligonal que passa pelos pontos (0,1),(1,3),(2,2),(3,5),(4,0).

Passo 3

Vamos ver a monotonia em cada trecho:
  • De x=0 a x=1: cresce de f(0)=1 até f(1)=3.
  • De x=1 a x=2: decresce de f(1)=3 até f(2)=2.
  • De x=2 a x=3: cresce de f(2)=2 até f(3)=5.
  • De x=3 a x=4: decresce de f(3)=5 até f(4)=0.

Passo 4

Classificamos os pontos de quebra:
  • Em x=1 a função sobe (até 3) e depois desce → máximo local com f(1)=3.
  • Em x=2 a função desce (até 2) e depois sobe → mínimo local com f(2)=2.
  • Em x=3 a função sobe até o valor f(3)=5 e depois desce, e esse é o maior valor em todo o domínio → máximo global.
  • No ponto final x=4 temos f(4)=0, que é o menor valor atingido na faixa [0,4]mínimo global.

Passo 5

O esboço final é a poligonal que une
(0,1)\to(1,3)\to(2,2)\to(3,5)\to(4,0),
com marcações claras em
– máximo local em (1,3)
– mínimo local em (2,2)
– máximo global em (3,5)
– mínimo global em (4,0).

Resposta

O gráfico é uma linha poligonal com vértices em (0,1),(1,3),(2,2),(3,5),(4,0), onde temos:
(a) máximo local em (1,3)
(b) mínimo local em (2,2)
(c) máximo global em (3,5)
(d) mínimo global em (4,0)

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