Encontre A^-1, onde
A=(ccc-1 & 2 & 1 0 & 1 & -3 4 & 0 & 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz A . A matéria que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de matriz inversa. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a matriz dos cofatores. Se o determinante for diferente de zero, a matriz inversa existe e podemos encontrá-la usando esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A . Para uma matriz 3x3, o determinante é dado por:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Onde a, b, c, etc., são os elementos da matriz A :
A = -1 & 2 & 1 0 & 1 & -3 4 & 0 & 2
Aplicando a fórmula:
det(A) = (-1)(1 cdot 2 - (-3) cdot 0) - 2(0 cdot 2 - (-3) cdot 4) + 1(0 cdot 0 - 1 cdot 4)
det(A) = (-1)(2 - 0) - 2(0 + 12) + 1(0 - 4)
det(A) = (-1)(2) - 2(12) + (−4) = -2 - 24 - 4 = -30

Passo 3

Como o determinante det(A) = -30 é diferente de zero, podemos prosseguir para encontrar a inversa da matriz. Agora, vamos calcular a matriz dos cofatores. Cada cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij)
Onde Mij é a menor da matriz obtida removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna.

Passo 4

Vamos calcular cada cofator individualmente:
  1. Cofator C11 :
M11 = 1 & -3 0 & 2 , det(M11) = (1)(2) - (-3)(0) = 2
C11 = (-1)^1+1 cdot 2 = 1 cdot 2 = 2
  1. Cofator C12 :
M12 = 0 & -3 4 & 2 , det(M12) = (0)(2) - (-3)(4) = 12
C12 = (-1)^1+2 cdot 12 = -1 cdot 12 = -12
  1. Cofator C13 :
M13 = 0 & 1 4 & 0 , det(M13) = (0)(0) - (1)(4) = -4
C13 = (-1)^1+3 cdot (-4) = 1 cdot (-4) = -4
  1. Cofator C21 :
M21 = 2 & 1 0 & 2 , det(M21) = (2)(2) - (1)(0) = 4
C21 = (-1)^2+1 cdot 4 = -1 cdot 4 = -4
  1. Cofator C22 :
M22 = -1 & 1 4 & 2 , det(M22) = (-1)(2) - (1)(4) = -2 - 4 = -6
C22 = (-1)^2+2 cdot (-6) = 1 cdot (-6) = -6
  1. Cofator C23 :
M23 = -1 & 2 4 & 0 , det(M23) = (-1)(0) - (2)(4) = 0 - 8 = -8
C23 = (-1)^2+3 cdot (-8) = -1 cdot (-8) = 8
  1. Cofator C31 :
M31 = 2 & 1 1 & -3 , det(M31) = (2)(-3) - (1)(1) = -6 - 1 = -7
C31 = (-1)^3+1 cdot (-7) = 1 cdot (-7) = -7
  1. Cofator C32 :
M32 = -1 & 1 0 & -3 , det(M32) = (-1)(-3) - (1)(0) = 3 - 0 = 3
C32 = (-1)^3+2 cdot 3 = -1 cdot 3 = -3
  1. Cofator C33 :
M33 = -1 & 2 0 & 1 , det(M33) = (-1)(1) - (2)(0) = -1 - 0 = -1
C33 = (-1)^3+3 cdot (-1) = 1 cdot (-1) = -1

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz de cofatores C :
C = 2 & -12 & -4 -4 & -6 & 8 -7 & -3 & -1
Em seguida, precisamos transpor essa matriz para obter a matriz adjunta adj(A) :
adj(A) = C^T = 2 & -4 & -7 -12 & -6 & -3 -4 & 8 & -1

Passo 6

Finalmente, para encontrar a inversa da matriz A , usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Sabemos que det(A) = -30 , então:
A^-1 = 1-30 cdot 2 & -4 & -7 -12 & -6 & -3 -4 & 8 & -1
Distribuindo o 1-30 em cada elemento:
A^-1 = 2-30 & -4-30 & -7-30 -12-30 & -6-30 & -3-30 -4-30 & 8-30 & -1-30
Simplificando as frações:
A^-1 = -115 & 215 & 730 25 & 15 & 110 215 & -415 & 130

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = -dfrac115 & dfrac215 & dfrac730 dfrac25 & dfrac15 & dfrac110 dfrac215 & -dfrac415 & dfrac130

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