(Transformações geométricas em R^3 ) Determine as matrizes e as respectivas transformações lineares que:
projeta (ortogonalmente) os vetores do espaço no plano y=0.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de R^3 sobre o plano y=0 (o plano xz). O conteúdo aqui é transformação linear e matriz associada em relação à base canônica de R^3.

Passo 2

Uma projeção ortogonal sobre o plano y=0 anula a componente y de qualquer vetor e conserva as componentes x e z. Assim, se (x,y,z) é um vetor em R^3, sua imagem pela projeção P é
P(x,y,z) = (x,0,z)
É fácil ver que essa regra é linear, pois preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 3

Para achar a matriz de P na base canônica e1,e2,e3, calculamos
P(e1)=P(1,0,0)=(1,0,0), P(e2)=P(0,1,0)=(0,0,0), P(e3)=P(0,0,1)=(0,0,1)
As colunas da matriz são essas imagens:
[P] = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A transformação linear de projeção ortogonal em y=0 é
P(x,y,z) = (x,0,z),
e sua matriz em relação à base canônica é
1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1

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