Encontre
e
se
onde
e
é uma função real diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Sabemos que
, onde
e
é uma função diferenciável. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a encontrar como uma função composta muda em relação a suas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como
depende de
, que por sua vez depende de
e
, precisamos derivar
em relação a
e
passando por essa dependência. A regra da cadeia nos diz que:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, que vamos considerar como
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
. Sabemos que:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Com esses resultados, podemos substituir de volta na regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de
:
Resposta
As derivadas parciais são: