Encontre partial zpartial x e partial zpartial y se z=f(u) onde u=xy+y/x e f é uma função real diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e y , ou seja, partial zpartial x e partial zpartial y . Sabemos que z = f(u) , onde u = xy + yx e f é uma função diferenciável. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a encontrar como uma função composta muda em relação a suas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como z depende de u , que por sua vez depende de x e y , precisamos derivar z em relação a x e y passando por essa dependência. A regra da cadeia nos diz que:
partial zpartial x = dfdu cdot partial upartial x
partial zpartial y = dfdu cdot partial upartial y
Aqui, dfdu é a derivada de f em relação a u , que vamos considerar como f'(u) .

Passo 3

Agora, vamos calcular partial upartial x e partial upartial y . Sabemos que:
u = xy + yx
Primeiro, derivamos u em relação a x :
partial upartial x = y + y cdot partialpartial x(1x)
partialpartial x(1x) = -1x^2
partial upartial x = y - yx^2 = y (1 - 1x^2)
Agora, derivamos u em relação a y :
partial upartial y = x + 1x

Passo 4

Com esses resultados, podemos substituir de volta na regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de z :
partial zpartial x = f'(u) cdot y (1 - 1x^2)
partial zpartial y = f'(u) cdot (x + 1x)

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = f'(u) cdot y (1 - 1x^2)
partial zpartial y = f'(u) cdot (x + 1x)

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