Seja f: R R uma função duas vezes diferenciável. Prove que se F: R^2 R é definida por
F(x, y)=f(x+cy)+f(x-cy), então c^2 Fxx=Fyy.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f:RtoR de classe C^2 (ou seja, com derivadas de segunda ordem contínuas) e define
F(x,y)=f(x+cy)+f(x-cy)
O que queremos mostrar é que, em todo ponto (x,y), vale a relação
c^2,Fxx(x,y)=Fyy(x,y)
Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, calculamos Fx e Fxx. Como
F(x,y)=f(u)+f(v), u = x+cy, v = x-cy,
pela regra da cadeia temos
Fx = f'(u),partial upartial x + f'(v),partial vpartial x = f'(x+cy)cdot1 + f'(x-cy)cdot1 = f'(x+cy)+f'(x-cy)
Derivando novamente em x,
Fxx = partialpartial xl[f'(x+cy)+f'(x-cy)r] = f''(x+cy)cdot1 + f''(x-cy)cdot1 = f''(x+cy)+f''(x-cy)

Passo 3

Agora calculamos Fy e Fyy. Usando de novo a regra da cadeia,
Fy = f'(u),partial upartial y + f'(v),partial vpartial y = f'(x+cy)cdot c + f'(x-cy)cdot(-c) = c,f'(x+cy) - c,f'(x-cy)
Derivando em y mais uma vez,
Fyy = partialpartial yl[c,f'(x+cy) - c,f'(x-cy)r] = cl[f''(x+cy),cr] - cl[f''(x-cy),(-c)r] = c^2,f''(x+cy) + c^2,f''(x-cy)

Passo 4

Comparando as expressões de Fxx e Fyy, vemos que
Fxx = f''(x+cy)+f''(x-cy), Fyy = c^2l(f''(x+cy)+f''(x-cy)r)
Logo, multiplicando Fxx por c^2 dá exatamente Fyy, ou seja
c^2,Fxx = Fyy

Resposta

Portanto, para toda (x,y)inR^2 vale
c^2,Fxx(x,y)=Fyy(x,y)

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