Seja
uma função duas vezes diferenciável. Prove que se
é definida por
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
de classe
(ou seja, com derivadas de segunda ordem contínuas) e define
O que queremos mostrar é que, em todo ponto
, vale a relação
Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, calculamos
e
. Como
pela regra da cadeia temos
Derivando novamente em
,
Passo 3
Agora calculamos
e
. Usando de novo a regra da cadeia,
Derivando em
mais uma vez,
Passo 4
Comparando as expressões de
e
, vemos que
Logo, multiplicando
por
dá exatamente
, ou seja
Resposta
Portanto, para toda
vale