Mostre que
, satisfaz a igualdade:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação em derivadas parciais
O que vamos precisar é aplicar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
e depois substituir na combinação indicada.
Passo 2
Defina
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem de
. Usando
e
,
, temos
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas:
- Para
, derive em relação a :
onde
. Logo
- Para
, derive em relação a :
com
. Então
- Para
, derive em relação a :
Passo 4
Agora substituímos em
Usando
:
Somando:
Portanto a igualdade é satisfeita.
Resposta
A função
satisfaz