Mostre que z=x cos (y / x), x neq 0, satisfaz a igualdade:
x^2 zxx+2xy zxy+y^2 zyy=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
z(x,y) = xcosl(tfracyxr), xneq0,
satisfaz a equação em derivadas parciais
x^2zxx + 2xy,zxy + y^2zyy = 0
O que vamos precisar é aplicar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de z e depois substituir na combinação indicada.

Passo 2

Defina
u = yx
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem de z. Usando z = xcos(u) e partial u/partial x = -y/x^2 = -u/x, partial u/partial y = 1/x, temos
zx = partialpartial xl[xcos(u)r] = cos(u) + xl(-sin(u)r)partial upartial x = cos(u) + xl(-sin(u)r)l(-tfracuxr) = cos(u) + usin(u),
zy = partialpartial yl[xcos(u)r] = xl(-sin(u)r)partial upartial y = xl(-sin(u)r)l(tfrac1xr) = -sin(u)

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas:
  1. Para zxx, derive zx = cos(u) + usin(u) em relação a x:
zxx = ddxcos(u) + ddxl[usin(u)r] = -sin(u),u' + l(u'sin(u) + ucos(u),u'r),
onde u'=partial u/partial x = -u/x. Logo
zxx = -sin(u)l(-tfracuxr) + l(-tfracuxr)sin(u) + ucos(u)l(-tfracuxr) = -u^2xcos(u)
  1. Para zxy, derive zx em relação a y:
zxy = ddyl[cos(u) + usin(u)r] = -sin(u),partial upartial y + l(tfracpartial upartial ysin(u) + ucos(u),tfracpartial upartial yr),
com partial u/partial y=1/x. Então
zxy = -1xsin(u) + 1xsin(u) + uxcos(u) = uxcos(u)
  1. Para zyy, derive zy = -sin(u) em relação a y:
zyy = -cos(u),partial upartial y = -1xcos(u)

Passo 4

Agora substituímos em
x^2zxx + 2xy,zxy + y^2zyy
Usando u=y/x:
x^2zxx = x^2l(-tfracu^2xcos(u)r) = -tfracx,u^21cos(u) = -tfracy^2xcos(u),
2xy,zxy = 2xyl(tfracuxcos(u)r) = 2y,ucos(u) = 2,tfracy^2xcos(u),
y^2zyy = y^2l(-tfrac1xcos(u)r) = -tfracy^2xcos(u)
Somando:
-tfracy^2xcos(u) +2,tfracy^2xcos(u) -tfracy^2xcos(u) =0
Portanto a igualdade é satisfeita.

Resposta

A função
z(x,y)=xcosl(tfracyxr)
satisfaz
x^2zxx + 2xy,zxy + y^2zyy = 0

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