Use a regra da cadeia para achar partial zpartial t ou partial wpartial t :
z=x^2+y^2+x y, x=sen t, y=e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos a regra da cadeia para encontrar a derivada parcial de z em relação a t , ou seja, partial zpartial t .
Conteúdo envolvido:
  • Regra da cadeia: é usada para derivar funções compostas.
  • Derivadas parciais: derivadas de funções com mais de uma variável.
O que vamos precisar:
  • As expressões de z em termos de x e y .
  • As expressões de x e y em termos de t .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
z = x^2 + y^2 + x y
x = sin t
y = e^t
Aqui, z depende de x e y , que, por sua vez, dependem de t . Então, para achar partial zpartial t , precisamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz que:
partial zpartial t = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Isso significa que vamos derivar z em relação a x e a y , e depois multiplicar pelas derivadas de x e y em relação a t .

Passo 4

Vamos calcular partial zpartial x e partial zpartial y :
partial zpartial x = 2x + y
partial zpartial y = 2y + x
Explicação:
  • Para partial zpartial x , derivamos z em relação a x , tratando y como constante.
  • Para partial zpartial y , derivamos z em relação a y , tratando x como constante.

Passo 5

Agora, vamos calcular dxdt e dydt :
dxdt = cos t
dydt = e^t
Explicação:
  • A derivada de sin t é cos t .
  • A derivada de e^t é e^t .

Passo 6

Substituindo todas as derivadas na fórmula da regra da cadeia:
partial zpartial t = (2x + y) cdot cos t + (2y + x) cdot e^t

Passo 7

Agora, substituímos x e y pelas suas expressões em termos de t :
x = sin t
y = e^t
Substituindo na expressão:
partial zpartial t = (2 sin t + e^t) cos t + (2 e^t + sin t) e^t

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribuímos os termos:
partial zpartial t = 2 sin t cos t + e^t cos t + 2 e^2t + sin t cdot e^t
Essa é a forma simplificada da derivada parcial.

Resposta

A derivada parcial de z em relação a t é:
partial zpartial t = 2 sin t cos t + e^t cos t + 2 e^2t + sin t cdot e^t

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