Use a regra da cadeia para achar
ou
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos a regra da cadeia para encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Conteúdo envolvido:
- Regra da cadeia: é usada para derivar funções compostas.
- Derivadas parciais: derivadas de funções com mais de uma variável.
O que vamos precisar:
- As expressões de
em termos de e . - As expressões de
e em termos de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Aqui,
depende de
e
, que, por sua vez, dependem de
. Então, para achar
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Isso significa que vamos derivar
em relação a
e a
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Explicação:
- Para
, derivamos em relação a , tratando como constante. - Para
, derivamos em relação a , tratando como constante.
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
:
Explicação:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Passo 6
Substituindo todas as derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Agora, substituímos
e
pelas suas expressões em termos de
:
Substituindo na expressão:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribuímos os termos:
Essa é a forma simplificada da derivada parcial.
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é: