Mostre que se
, onde
é uma função real diferenciável, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que
, onde
é uma função real diferenciável. A gente precisa mostrar que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos passo a passo entender como chegar nessa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, lembramos que
. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 3
Calculando
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usamos novamente a regra da cadeia.
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos montar a expressão
:
Passo 6
Vamos distribuir o
na primeira parte:
Perceba que os últimos dois termos se cancelam:
Passo 7
Assim, sobra apenas:
Mas lembre-se que
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que
quando
.