Mostre que se F(x, y)=x^2 f(y / x), onde f é uma função real diferenciável, então x Fx + y Fy=2F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que F(x, y) = x^2 f(yx) , onde f é uma função real diferenciável. A gente precisa mostrar que x Fx + y Fy = 2F . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos passo a passo entender como chegar nessa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de F em relação a x , ou seja, Fx . Para isso, lembramos que F(x, y) = x^2 f(yx) . Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Calculando Fx :
Fx = partialpartial x ( x^2 f(yx) ) = 2x f(yx) + x^2 f'(yx) ( -yx^2 )
Simplificando:
Fx = 2x f(yx) - y f'(yx)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de F em relação a y , ou seja, Fy . Usamos novamente a regra da cadeia.
Fy = partialpartial y ( x^2 f(yx) ) = x^2 f'(yx) ( 1x )
Simplificando:
Fy = x f'(yx)

Passo 5

Agora que temos Fx e Fy , vamos montar a expressão x Fx + y Fy :
x Fx + y Fy = x ( 2x f(yx) - y f'(yx) ) + y ( x f'(yx) )

Passo 6

Vamos distribuir o x na primeira parte:
x Fx + y Fy = 2x^2 f(yx) - x y f'(yx) + x y f'(yx)
Perceba que os últimos dois termos se cancelam:
- x y f'(yx) + x y f'(yx) = 0

Passo 7

Assim, sobra apenas:
x Fx + y Fy = 2x^2 f(yx)
Mas lembre-se que F(x, y) = x^2 f(yx) , então:
x Fx + y Fy = 2F

Resposta

Portanto, mostramos que x Fx + y Fy = 2F quando F(x, y) = x^2 f(yx) .

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