Verifique se S é um subespaço do espaço vetorial V sobre o corpo K nos seguintes casos.
Todos os vetores x in R^n tais que x1=0 e K=R.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^n sobre o corpo K=R e o conjunto
S = ,x=(x1,dots,xn)inR^n mid x1 = 0
Para provar que S é subespaço de V, vamos verificar:
  1. 0in S.
  2. Se x,yin S então x+yin S.
  3. Se xin S e alphainR então alpha xin S.

Passo 2

O vetor nulo de V é
0 = (0,0,dots,0)
Como sua primeira coordenada é 0, temos 01 = 0, portanto 0in S.

Passo 3

Sejam
x=(x1,dots,xn)in S, y=(y1,dots,yn)in S
Então x1=0 e y1=0. A soma é
x+y = (x1+y1,dots,xn+yn)
e a primeira coordenada vale
(x+y)1 = x1 + y1 = 0 + 0 = 0
Logo x+yin S.

Passo 4

Seja alphainR e x=(x1,dots,xn)in S com x1=0. Então
alpha x = (alpha x1,dots,alpha xn)
e
(alpha x)1 = alpha,x1 = alphacdot 0 = 0
Portanto alpha xin S.

Resposta

Sim, S é um subespaço de V=R^n sobre R.

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