Mostre que
& ddx[ccc x^2 & x+1 & 3 1 & 2 x-1 & x^3 0 & x & -2 ]= & [ccc 2 x & 1 & 0 1 & 2 x-1 & x^3 0 & x & -2 ]+[ccc x^2 & x+1 & 3 0 & 2 & 3 x^2 0 & x & -2 ]+[ccc x^2 & x+1 & 3 1 & 2 x-1 & x^3 0 & 1 & 0 ]
Observe atentamente a igualdade acima e enuncie a propriedade que ela ilustra.

Passo 1

O enunciado nos dá a função matricial
M(x)= x^2 & x+1 & 3 1 & 2x-1 & x^3 0 & x & -2
e mostra que
ddxM(x) = underbrace 2x & 1 & 0 1 & 2x-1 & x^3 0 & x & -2 derivada da linha 1 + underbrace x^2 & x+1 & 3 0 & 2 & 3x^2 0 & x & -2 derivada da linha 2 + underbrace x^2 & x+1 & 3 1 & 2x-1 & x^3 0 & 1 & 0 derivada da linha 3
O que vamos usar é a ideia de derivar cada entrada da matriz e a linearidade do operador d d x.

Passo 2

Decomponha M(x) como soma de três matrizes que isolam cada linha:
R1(x)= x^2 & x+1 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , R2(x)= 0 & 0 & 0 1 & 2x-1 & x^3 0 & 0 & 0 , R3(x)= 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & x & -2
Então
M(x)=R1(x)+R2(x)+R3(x)

Passo 3

Como a derivada é linear, temos
dMdx =dR1dx +dR2dx +dR3dx

Passo 4

Basta derivar entrada a entrada em cada Ri:
dR1dx = 2x & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , dR2dx = 0 & 0 & 0 0 & 2 & 3x^2 0 & 0 & 0 , dR3dx = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0
Agora observe que
dR1dx +R2(x)+R3(x) = 2x&1&01&2x-1&x^30&x&-2 ,
R1(x)+dR2dx+R3(x) = x^2&x+1&30&2&3x^20&x&-2 ,
R1(x)+R2(x)+dR3dx = x^2&x+1&31&2x-1&x^30&1&0 ,
e somando essas três matrizes recuperamos exatamente o lado direito do enunciado.

Resposta

A igualdade ilustra a linearidade da derivada em funções matriciais (ou seja, tfrac d d x(A+B)=tfrac dA d x+tfrac dB d x) e o fato de que a derivada de uma matriz valor-matricial é obtida diferenciando-se cada entrada individualmente.

Exercícios relacionados