Encontre , onde é a superfície lateral do cilindro de raio e altura cujo eixo é o eixo .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre a superfície lateral de um cilindro de raio e altura . O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar, que usamos parametrizando a superfície e calculando
por meio de uma aplicação e do elemento de área .
Passo 2
Parametrizamos o cilindro lateral por
com e . Calculamos
então
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dS = a,dtheta,dz
Passo 3
A função a integrar é f(x,y,z)=x^2+y^2. Na parametrização
x^2+y^2 = (acostheta)^2 + (asintheta)^2 = a^2
Assim a integral fica
integral duplaS(x^2+y^2),dS = integral0^h!integral0^2pi a^2,(a,dtheta,dz) = a^3integral0^h!integral0^2pi dtheta,dz
Passo 4
Calculamos as integrais separáveis:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^hdz = h
Portanto
integral duplaS(x^2+y^2),dS = a^3,(2pi),h = 2pi,a^3,h