Encontre integral duplaS(x^2+y^2) d S, onde S é a superfície lateral do cilindro de raio a e altura h cujo eixo é o eixo z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre a superfície lateral de um cilindro de raio a e altura h. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar, que usamos parametrizando a superfície e calculando
integral duplaS f(x,y,z),dS
por meio de uma aplicação r(u,v) e do elemento de área dS=| rutimes rv|,du,dv.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro lateral por
r(theta,z) = l(acostheta,;asintheta,;zr),
com thetain[0,2pi] e zin[0,h]. Calculamos
rtheta = (-asintheta,;acostheta,;0), rz = (0,0,1),
então
| rthetatimes rz| = l|(-asintheta,acostheta,0)times(0,0,1)r| = l|(acostheta,asintheta,0)r| = a
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dS = a,dtheta,dz

Passo 3

A função a integrar é f(x,y,z)=x^2+y^2. Na parametrização
x^2+y^2 = (acostheta)^2 + (asintheta)^2 = a^2
Assim a integral fica
integral duplaS(x^2+y^2),dS = integral0^h!integral0^2pi a^2,(a,dtheta,dz) = a^3integral0^h!integral0^2pi dtheta,dz

Passo 4

Calculamos as integrais separáveis:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^hdz = h
Portanto
integral duplaS(x^2+y^2),dS = a^3,(2pi),h = 2pi,a^3,h

Resposta

2pi,a^3,h

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