1. Se f: R longrightarrow R é uma função diferenciável par mostre que f^prime(x) é uma função ímpar. E, no caso em que f(x) for uma função diferenciável ímpar, então f^prime(x) será uma função par.
    Sugestão: Use a Regra da Cadeia e as definições de funções pares e ímpares.
  2. Seja f:[-L, L] uma função real integrável e F(x) dada por
F(x)=integral0^x f(u) d u
Use uma mudança de variável para mostrar que:
(a) Se f(x) for uma função par, então F(x) é uma função ímpar;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que se f: Rto R é diferenciável e par (ou ímpar) então sua derivada f' é ímpar (ou par). Para isso vamos usar a definição de função par/ímpar e a regra da cadeia ao diferenciar f(-x).
Em seguida, dado f:[-L,L]to R integrável e
F(x)=integral0^xf(u),du,
precisamos provar que, se f for par, então F é ímpar. Usaremos mudança de variável em integrais definidas.

Passo 2

Suponha f diferenciável e par, ou seja,
f(-x)=f(x)para todo (x)
Diferenciando ambos os lados em relação a x e aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo, obtemos
ddxf(-x)=f'(-x)cdot(-1),
enquanto no lado direito
ddxf(x)=f'(x)
Logo
-,f'(-x)=f'(x) Longrightarrow f'(-x)=-f'(x),
o que diz exatamente que f' é ímpar.

Passo 3

Agora suponha f diferenciável e ímpar, ou seja,
f(-x)=-f(x)para todo (x)
Diferenciando:
ddxf(-x)=f'(-x)cdot(-1),
e
ddxl(-f(x)r)=-f'(x)
Assim,
-,f'(-x)=-f'(x) Longrightarrow f'(-x)=f'(x),
o que mostra que f' é par.

Passo 4

Agora considere F(x)=integral0^xf(u),du com f par, isto é f(-u)=f(u). Vamos calcular F(-x):
F(-x)=integral0^-xf(u),du =-integral-x^0f(u),du
Fazendo a mudança de variável u=-t, temos du=-dt, e quando u=-x então t=x, e quando u=0 então t=0. Logo,
integral-x^0f(u),du =integralt=x^0f(-t),(-dt) =integral0^xf(-t),dt =integral0^xf(t),dt =F(x)
Portanto
F(-x)=-integral-x^0f(u),du=-F(x),
que significa que F é ímpar.

Resposta

  1. Se f diferenciável e par, então f' é ímpar; se f diferenciável e ímpar, então f' é par.
    8(a). Se f for par, então F(x)=integral0^xf(u),du é ímpar.

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