- Se
é uma função diferenciável par mostre que
é uma função ímpar. E, no caso em que
for uma função diferenciável ímpar, então
será uma função par.
Sugestão: Use a Regra da Cadeia e as definições de funções pares e ímpares.
- Seja
uma função real integrável e
dada por
Use uma mudança de variável para mostrar que:
(a) Se
for uma função par, então
é uma função ímpar;
Sugestão: Use a Regra da Cadeia e as definições de funções pares e ímpares.
(a) Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que se
é diferenciável e par (ou ímpar) então sua derivada
é ímpar (ou par). Para isso vamos usar a definição de função par/ímpar e a regra da cadeia ao diferenciar
.
Em seguida, dado integrável e
Em seguida, dado
precisamos provar que, se
for par, então
é ímpar. Usaremos mudança de variável em integrais definidas.
Passo 2
Suponha
diferenciável e par, ou seja,
Diferenciando ambos os lados em relação a
e aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo, obtemos
enquanto no lado direito
Logo
o que diz exatamente que
é ímpar.
Passo 3
Agora suponha
diferenciável e ímpar, ou seja,
Diferenciando:
e
Assim,
o que mostra que
é par.
Passo 4
Agora considere
com
par, isto é
. Vamos calcular
:
Fazendo a mudança de variável
, temos
, e quando
então
, e quando
então
. Logo,
Portanto
que significa que
é ímpar.
Resposta
- Se
diferenciável e par, então é ímpar; se diferenciável e ímpar, então é par.
8(a). Sefor par, então é ímpar.