Seja S o cilindro x^2+y^2=4,-2 <= z <= 2, considere a integral de superfície
integral duplaS(z-x^2-y^2) d S
Use uma parametrização apropriada de S para calcular o valor da integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaSl(z-x^2-y^2r),dS
onde S é o cilindro definido por x^2+y^2=4 e -2<= z<=2.
O conteúdo usado será parametrização de superfície e cálculo de dS via | rutimes rv|.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro usando coordenadas cilíndricas fixando o raio 2:
r(theta,z)=l(2costheta,,2sintheta,,zr), 0<=theta<=2pi,;-2<= z<=2
Calculamos os vetores tangentes
rtheta =(-2sintheta,;2costheta,;0), rz =(0,0,1),
e o produto vetorial em módulo
| rthetatimes rz| =|(-2sintheta,2costheta,0)times(0,0,1)| =2
Logo dS=2,dtheta,dz.

Passo 3

Na parametrização temos
x^2+y^2=4,
então o integrando fica z-4. A integral transforma-se em
integral duplaS(z-x^2-y^2),dS =integral0^2pi!!integral-2^2l(z-4r)cdot2,dz,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integral-2^22(z-4),dz =2l[tfrac12z^2-4zr]-2^2 =2l[(2-8)-(2+8)r] =2cdot(-16) =-32

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^2pi(-32),dtheta =-32cdot2pi =-64pi

Resposta

-64pi

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