Encontre um operador diferencial que anule a função dada.
Passo 1
A questão pede um operador diferencial L tal que L[1 + sen(x)] = 0. O conteúdo aqui é aniquilador (annihilator) de funções, e vamos usar operadores lineares em d/dx.
Passo 2
Para ver como aniquilar a constante 1, note que qualquer derivada de ordem ≥1 de 1 é zero. Mas se o operador tiver termo de ordem zero a
, teremos L[1] = a
·1 ≠0, a menos que a
=0. Logo, o operador não pode ter termo de ordem zero.
Passo 3
Para aniquilar sen(x), lembramos que (D^2+1)[sen(x)] = 0, onde D = d/dx. Esse operador aniquila sen(x), mas aplicado a 1 dá (D^2+1)[1] = 1 ≠0.
Passo 4
Para combinar as duas condições, basta multiplicar por D (que anula constantes). Então o operador L = D·(D^2+1) anula tanto 1 quanto sen(x).
Passo 5
Expandindo, temos L = D^3 + D, ou seja, L = \frac{d3}{dx3} + \frac{d}{dx}.
Resposta
O operador diferencial que anula 1 + sen(x) é