Utilize o método dos anuladores para encontrar as soluções das equações abaixo.
y^prime prime prime+y^prime prime=8 x^2

Passo 1

Temos a equação não homogênea de 3ª ordem y''' + y'' = 8x^2. O conteúdo é resolução de EDO linear com termo não homogêneo polinomial, e vamos usar o método dos anuladores, que consiste em achar a solução geral como soma da parte complementar (solução da homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

Para achar a parte complementar, consideramos a EDO homogênea associada y''' + y'' = 0. Escrevendo o operador diferencial temos D^3 + D^2 = D^2(D + 1). A equação característica é r^2(r + 1)=0, com raízes r=0 (multiplicidade 2) e r=-1. Logo,
yh(x) = C1 + C2 x + C3 e^-x

Passo 3

Para a parte particular, o termo não homogêneo é o polinômio 8x^2. O anulador desse termo é D^3. Como r=0 já aparece com multiplicidade 2 na homogênea, multiplicamos o palpite polinomial padrão de grau 2 por x^2. Então propomos
yp(x) = x^2(Ax^2 + Bx + C) = A x^4 + B x^3 + C x^2

Passo 4

Calculamos as derivadas
yp'(x) = 4A x^3 + 3B x^2 + 2C x,
yp''(x) = 12A x^2 + 6B x + 2C,
yp'''(x) = 24A x + 6B

Passo 5

Substituindo em y''' + y'' = 8x^2 obtemos
24A x + 6B + 12A x^2 + 6B x + 2C = 8x^2

Passo 6

Agrupando coeficientes de potências de x
12A = 8,
24A + 6B = 0,
6B + 2C = 0

Passo 7

Dessas igualdades surge A = tfrac23, B = -tfrac83 e C = 8. Portanto
yp(x) = tfrac23x^4 - tfrac83x^3 + 8x^2

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^-x + tfrac23x^4 - tfrac83x^3 + 8x^2

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