Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida . O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição (mudança de variável) para simplificar a expressão dentro da tangente.

Passo 2

Perceba que a função dentro do é tg e que seu derivado é proporcional a x^2+1. Então, definimos a substituição
x
para transformar a integral.

Passo 3

Calculamos o diferencial de u:
du = 2x,dx
Daí concluímos que
x,dx = 12,du .

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
.

Passo 5

Agora usamos a integral conhecida de :
portanto
.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x, repondo u = x^2 + 1. Assim, a solução é
-12lnl|cosl(x^2+1r)r| + C .

Resposta

-\tfrac{1}{2}\ln\bigl|\cos(x^2+1)\bigr| + C

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