Encontre a oscilacão de regime permanente de y^prime prime+c y^prime+y=r(t) com c>0 e r(t) conforme dada.
r(t)=an cos n t

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO linear de segunda ordem com amortecimento e forçamento harmônico,

Passo 2

O conteúdo envolvido é a resposta em regime permanente (solução particular) de
y'' + c,y' + y = ancos(nt)
Vamos precisar usar o “método do palpite” para achar uma solução particular na forma de um cosseno e seno.

Passo 3

Escolha do palpite: como o forçamento é harmônico, escolhemos
yp(t) = Acos(nt) + Bsin(nt)
Isso abrange qualquer deslocamento e defasagem que possa surgir em regime permanente.

Passo 4

Cálculo de derivadas e substituição: calculamos
yp' = -A nsin(nt) + B ncos(nt), yp'' = -A n^2cos(nt) - B n^2sin(nt)
Substituindo em
y'' + c,y' + y = ancos(nt)
agruparamos termos em cos(nt) e sin(nt) para obter o sistema
A(1 - n^2) + B,c n = an, B(1 - n^2) - A,c n = 0

Passo 5

Resolvendo para A e B: da segunda equação temos
B = A,c n1 - n^2
Substituindo na primeira e isolando A resulta
A = an(1 - n^2)(1 - n^2)^2 + (c n)^2,
e
B = an,c n(1 - n^2)^2 + (c n)^2

Passo 6

Forma amplitude e fase: é mais elegante expressar a resposta como
yrm per(t) = Rcosl(n t - phir),
onde
R = anraiz(1 - n^2)^2 + (c n)^2,
phi = arctan!l(tfracc n1 - n^2r)

Resposta

A oscilação de regime permanente é
$$
y_{\rm per}(t) = \frac{a_n}{\sqrt{(1 - n2)2 + (c n)^2}},\cos\Bigl(n t - \arctan!\bigl(\tfrac{c n}{1 - n^2}\bigr)\Bigr).$$

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