Encontre outras duas representações em coordenadas polares dos pontos abaixo, uma com r>0 e outra com r<0.
(3,2)(3,2+2 pi) e (-3,2+pi)

Passo 1

O enunciado nos dá a representação polar
(r,theta) = (3,,2)
e pede duas outras formas equivalentes: uma com r>0 e outra com r<0. Para isso vamos usar duas propriedades básicas de coordenadas polares.

Passo 2

Como a direção representada pelo ângulo é 2pi periódica, qualquer ângulo theta + 2pi k com k in Z aponta para o mesmo raio. Mantendo r = 3 > 0 e escolhendo k = 1, obtemos
(r, theta) = l(3,; 2 + 2pi r),
que tem r > 0.

Passo 3

Para obter uma representação com r<0, usamos a identidade
(r,theta)equiv (-r,;theta+pi),
pois inverter o sinal de r e somar pi ao ângulo aponta para o mesmo ponto. Aplicando em (3,2)
(r,theta) = l(-3,;2+pir),
que satisfaz r<0.

Resposta

As duas representações procuradas são
(3,;2+2pi) e (-3,;2+pi)

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